Справочник по Ada 2005

G.1.1 Сложные типы

Статическая семантика

В общем пакете библиотек Numerics.Generic_Complex_Types содержится следующее объявление:

generic
type Real is digits <>;
package Ada.Numerics.Generic_Complex_Types is
pragma Pure(Generic_Complex_Types);

type Complex is
record
Re, Im : Real'Base;
end record;

type Imaginary is private;
pragma Preelaborable_Initialization(Imaginary);

i : constant Imaginary;
j : constant Imaginary;

function Re (X : Complex) return Real'Base;
function Im (X : Complex) return Real'Base;
function Im (X : Imaginary) return Real'Base;

procedure Set_Re (X : in out Complex;
Re : in Real'Base);
procedure Set_Im (X : in out Complex;
Im : in Real'Base);
procedure Set_Im (X : out Imaginary;
Im : in Real'Base);

function Compose_From_Cartesian (Re, Im : Real'Base) return Complex;
function Compose_From_Cartesian (Re : Real'Base) return Complex;
function Compose_From_Cartesian (Im : Imaginary) return Complex;

function Modulus (X : Complex) return Real'Base;
function "abs" (Right : Complex) return Real'Base renames Modulus;

function Argument (X : Complex) return Real'Base;
function Argument (X : Complex;
Cycle : Real'Base) return Real'Base;

function Compose_From_Polar (Modulus, Argument : Real'Base)
return Complex;
function Compose_From_Polar (Modulus, Argument, Cycle : Real'Base)
return Complex;

function "+" (Right : Complex) return Complex;
function "-" (Right : Complex) return Complex;
function Conjugate (X : Complex) return Complex;

function "+" (Left, Right : Complex) return Complex;
function "-" (Left, Right : Complex) return Complex;
function "*" (Left, Right : Complex) return Complex;
function "/" (Left, Right : Complex) return Complex;

function "**" (Left : Complex; Right : Integer) return Complex;

function "+" (Right : Imaginary) return Imaginary;
function "-" (Right : Imaginary) return Imaginary;
function Conjugate (X : Imaginary) return Imaginary renames "-";
function "abs" (Right : Imaginary) return Real'Base;

function "+" (Left, Right : Imaginary) return Imaginary;
function "-" (Left, Right : Imaginary) return Imaginary;
function "*" (Left, Right : Imaginary) return Real'Base;
function "/" (Left, Right : Imaginary) return Real'Base;

function "**" (Left : Imaginary; Right : Integer) return Complex;

function "<" (Left, Right : Imaginary) return Boolean;
function "<=" (Left, Right : Imaginary) return Boolean;
function ">" (Left, Right : Imaginary) return Boolean;
function ">=" (Left, Right : Imaginary) return Boolean;

function "+" (Left : Complex; Right : Real'Base) return Complex;
function "+" (Left : Real'Base; Right : Complex) return Complex;
function "-" (Left : Complex; Right : Real'Base) return Complex;
function "-" (Left : Real'Base; Right : Complex) return Complex;
function "*" (Left : Complex; Right : Real'Base) return Complex;
function "*" (Left : Real'Base; Right : Complex) return Complex;
function "/" (Left : Complex; Right : Real'Base) return Complex;
function "/" (Left : Real'Base; Right : Complex) return Complex;

function "+" (Left : Complex; Right : Imaginary) return Complex;
function "+" (Left : Imaginary; Right : Complex) return Complex;
function "-" (Left : Complex; Right : Imaginary) return Complex;
function "-" (Left : Imaginary; Right : Complex) return Complex;
function "*" (Left : Complex; Right : Imaginary) return Complex;
function "*" (Left : Imaginary; Right : Complex) return Complex;
function "/" (Left : Complex; Right : Imaginary) return Complex;
function "/" (Left : Imaginary; Right : Complex) return Complex;

function "+" (Left : Imaginary; Right : Real'Base) return Complex;
function "+" (Left : Real'Base; Right : Imaginary) return Complex;
function "-" (Left : Imaginary; Right : Real'Base) return Complex;
function "-" (Left : Real'Base; Right : Imaginary) return Complex;
function "*" (Left : Imaginary; Right : Real'Base) return Imaginary;
function "*" (Left : Real'Base; Right : Imaginary) return Imaginary;
function "/" (Left : Imaginary; Right : Real'Base) return Imaginary;
function "/" (Left : Real'Base; Right : Imaginary) return Imaginary;

private

type Imaginary is new Real'Base;
i : constant Imaginary := 1.0;
j : constant Imaginary := 1.0;

end Ada.Numerics.Generic_Complex_Types;

Пакет библиотек Numerics.Complex_Types объявлен чистым и определяет те же типы, константы и подпрограммы, что и Numerics.Generic_Complex_Types, за исключением того, что предопределённый тип Float систематически подставляется вместо Real'Base. Аналогично определены непараметризованные аналоги Numerics.Generic_Complex_Types для каждого из других предопределённых типов чисел с плавающей запятой, с именами Numerics.Short_Complex_Types, Numerics.Long_Complex_Types и т. д.

Complex — это видимый тип с декартовыми компонентами.

Imaginary — это приватный тип; его полный тип получен от Real'Base.

Арифметические операции и функции Re, Im, Modulus, Argument и Conjugate имеют свои обычные математические значения. Когда они применяются к параметру чисто мнимого типа, функция «мнимой части» Im возвращает значение его параметра, как соответствующее вещественное значение. Остальные подпрограммы имеют следующие значения:

Процедуры Set_Re и Set_Im заменяют указанный компонент комплексного параметра заданным вещественным значением; при применении к параметру чисто мнимого типа процедура Set_Im заменяет значение этого параметра на мнимое значение, соответствующее заданному вещественному значению.

Функция Compose_From_Cartesian строит комплексное значение из заданных вещественной и мнимой составляющих. Если задана только одна составляющая, другая составляющая неявно равна нулю.

Функция Compose_From_Polar строит комплексное значение из заданного модуля (радиуса) и аргумента (угла). Когда значение параметра Modulus положительно (соответственно, отрицательно), результат является комплексным значением, представленным точкой в комплексной плоскости, находящейся на расстоянии от начала координат, задаваемом абсолютным значением Modulus, и образующей угол, измеряемый против часовой стрелки от положительной (соответственно, отрицательной) действительной оси, задаваемый значением параметра Argument.

Когда параметр Cycle указан, результат функции Argument и параметр Argument функции Compose_From_Polar измеряются в единицах, таких, что полный цикл вращения имеет заданное значение; в противном случае они измеряются в радианах.

Вычисленные результаты математически многозначных функций делаются однозначными с помощью следующих соглашений, которые предполагают главную ветвь:

Результат функции Modulus неотрицателен.

Результат функции Argument находится в квадранте, содержащем точку в комплексной плоскости, представленную параметром X. Это может быть любой квадрант (I по IV); таким образом, диапазон функции Argument приблизительно от –π до π (–Cycle/2.0 до Cycle/2.0, если указан параметр Cycle). Когда точка, представленная параметром X, лежит на отрицательной действительной оси, результат приближается

к π (соответственно, –π), когда знак мнимой составляющей X положителен (соответственно, отрицателен), если Real'Signed_Zeros равен True;

к π, если Real'Signed_Zeros равен False.

Поскольку результат, лежащий на или вблизи одной из осей, может быть не точно представлен, приближение, присущее вычислению результата, может поместить его в смежный квадрант, близкий, но по неправильную сторону от оси.

Динамическая семантика

Исключение Numerics.Argument_Error генерируется функциями Argument и Compose_From_Polar со специфицированным циклом, сигнализируя о значении параметра вне области соответствующей математической функции, когда значение параметра Cycle равно нулю или отрицательно.

Исключение Constraint_Error генерируется оператором деления, когда значение правого операнда равно нулю, и оператором возведения в степень, когда значение левого операнда равно нулю, а значение показателя степени отрицательно, при условии, что Real'Machine_Overflows равен True; когда Real'Machine_Overflows равен False, результат неопределён. Constraint_Error также может быть сгенерирован, когда конечный результат переполняет (см. G.2.6).

Требования к реализации

При реализации Numerics.Generic_Complex_Types диапазон промежуточных значений, разрешённых во время вычисления конечного результата, не должен быть затронут никакими ограничениями диапазона типа Real.

В следующих случаях вычисление комплексной арифметической операции должно давать предписанный результат, при условии, что предыдущие правила не предусматривают генерирования исключения:

Результаты функций Re, Im и Compose_From_Cartesian являются точными.

END_OF_DOCUMENT_MARKER

Действительная (соответственно, мнимая) составляющая результата бинарного оператора сложения, дающего результат комплексного типа, является точной, когда любой из его операндов является чисто мнимого (соответственно, действительного) типа.

Действительная (соответственно, мнимая) составляющая результата бинарного оператора вычитания, дающего результат комплексного типа, является точной, когда его правый операнд является чисто мнимого (соответственно, действительного) типа.

Действительная составляющая результата функции Conjugate для комплексного типа является точной.

Когда точка в комплексной плоскости, представленная параметром X, лежит на неотрицательной действительной оси, функция Argument возвращает результат нуль.

Когда значение параметра Modulus равно нулю, функция Compose_From_Polar возвращает результат нуль.

Когда значение параметра Argument равно кратному четверти цикла, результат функции Compose_From_Polar со специфицированным циклом лежит на одной из осей. В этом случае одна из его составляющих равна нулю, а другая имеет величину параметра Modulus.

Возведение в степень с нулевым показателем дает значение один. Возведение в степень с единичным показателем дает значение левого операнда. Возведение в степень значения один дает значение один. Возведение в степень значения ноль дает значение ноль, при условии, что показатель отличен от нуля. Когда левый операнд является чисто мнимого типа, одна составляющая результата оператора возведения в степень равна нулю.

Когда результат или составляющая результата любого оператора из Numerics.Generic_Complex_Types имеет математическое определение в терминах одной арифметической или реляционной операции, этот результат или составляющая результата демонстрирует точность соответствующей операции типа Real.

Другие требования к точности функций Modulus, Argument и Compose_From_Polar, а также требования к точности умножения пары комплексных операндов или деления на комплексный операнд, которые применяются только в строгом режиме, приведены в G.2.6.

Знак нулевого результата или нулевой составляющей результата, полученного в результате комплексной арифметической операции или функции, определяется реализацией, когда Real'Signed_Zeros имеет значение True.

Разрешения на реализацию

Эквивалентные негенерические пакеты могут, но не обязаны, быть фактическими инстанциациями генерического пакета для соответствующего предопределенного типа.

Реализации могут получить результат возведения в степень комплексного или чисто мнимого операнда путем многократного комплексного умножения с произвольным связыванием множителей и с возможным конечным комплексным обращением (когда показатель степени отрицательный). Реализации также разрешается получить результат возведения в степень комплексного операнда, но не чисто мнимого операнда, путем преобразования левого операнда в полярное представление; возведения модуля в указанную степень; умножения аргумента на указанный показатель; и преобразования обратно в декартовы координаты. Из-за этой свободы реализации не налагается никаких требований к точности комплексного возведения в степень (за исключением предписанных результатов, указанных выше, которые применяются независимо от выбранного метода реализации).

Рекомендации по реализации

Поскольку обычный математический смысл умножения комплексного операнда и действительного операнда заключается в масштабировании обеих составляющих первого операнда на второй, реализация не должна выполнять эту операцию путем предварительного преобразования действительного операнда к комплексному типу и последующего выполнения полного комплексного умножения. В системах, которые в будущем будут поддерживать Ada-связь с IEC 559:1989, последний метод не будет генерировать требуемый результат, когда одна из составляющих комплексного операнда является бесконечной. (Явное умножение бесконечной составляющей на нулевую составляющую, полученную во время преобразования, приводит к NaN, который распространяется на конечный результат.) Аналогичные рекомендации применяются в случае умножения комплексного операнда и чисто мнимого операнда и в случае деления комплексного операнда на действительный или чисто мнимый операнд.

Аналогично, поскольку обычный математический смысл сложения комплексного операнда и действительного операнда состоит в том, что мнимая составляющая остается неизменной, реализация не должна выполнять эту операцию, предварительно преобразуя действительный операнд в комплексный тип и затем выполняя полное комплексное сложение. В реализациях, в которых атрибут Signed_Zeros типа составляющей имеет значение True (и которые, следовательно, соответствуют IEC 559:1989 в отношении обработки знака нуля в предопределенных арифметических операциях), последний метод не будет генерировать требуемый результат, когда мнимая составляющая комплексного операнда является отрицательно-знаковым нулем. (Явное сложение отрицательного нуля с нулем, полученным во время преобразования, даёт положительный ноль.) Аналогичные рекомендации применяются в случае сложения комплексного операнда и чисто мнимого операнда и в случае вычитания комплексного операнда и действительного или чисто мнимого операнда.

Реализации, в которых Real'Signed_Zeros имеет значение True, должны стремиться обеспечить рациональную обработку знаков нулевых результатов и нулевых составляющих результатов. Например, результат функции Argument должен иметь знак мнимой составляющей параметра X, когда точка, представленная этим параметром, лежит на положительной действительной оси; в качестве другого примера, знак мнимой составляющей функции Compose_From_Polar должен быть таким же (соответственно, противоположным), как у параметра Argument, когда этот параметр имеет значение ноль, а параметр Modulus имеет неотрицательное (соответственно, отрицательное) значение.