Справочник Ada 2005
G.3.1 Вещественные векторы и матрицы
Статическая семантика
В общем пакете библиотеки Numerics.Generic_Real_Arrays есть следующее объявление:
generic
type Real is digits <>;
package Ada.Numerics.Generic_Real_Arrays is
pragma Pure(Generic_Real_Arrays);
type Real is digits <>;
package Ada.Numerics.Generic_Real_Arrays is
pragma Pure(Generic_Real_Arrays);
-- Типы
type Real_Vector is array (Integer range <>) of Real'Base;
type Real_Matrix is array (Integer range <>, Integer range <>)
of Real'Base;
type Real_Matrix is array (Integer range <>, Integer range <>)
of Real'Base;
-- Подпрограммы для типов Real_Vector
-- Арифметические операции с Real_Vector
function "+" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "+" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "*" (Left, Right : Real_Vector) return Real'Base;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real'Base;
-- Масштабирование Real_Vector
function "*" (Left : Real'Base; Right : Real_Vector)
return Real_Vector;
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base)
return Real_Vector;
function "/" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base)
return Real_Vector;
return Real_Vector;
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base)
return Real_Vector;
function "/" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base)
return Real_Vector;
-- Другие операции с Real_Vector
function Unit_Vector (Index : Integer;
Order : Positive;
First : Integer := 1) return Real_Vector;
Order : Positive;
First : Integer := 1) return Real_Vector;
-- Подпрограммы для типов Real_Matrix
-- Арифметические операции с Real_Matrix
function "+" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "abs" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Transpose (X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "abs" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Transpose (X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "+" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "*" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "*" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "*" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Matrix;
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real_Matrix)
return Real_Vector;
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real_Vector)
return Real_Vector;
return Real_Vector;
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real_Vector)
return Real_Vector;
-- Масштабирование Real_Matrix
function "*" (Left : Real'Base; Right : Real_Matrix)
return Real_Matrix;
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base)
return Real_Matrix;
function "/" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base)
return Real_Matrix;
return Real_Matrix;
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base)
return Real_Matrix;
function "/" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base)
return Real_Matrix;
-- Обращение Real_Matrix и связанные операции
function Solve (A : Real_Matrix; X : Real_Vector) return Real_Vector;
function Solve (A, X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Inverse (A : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Determinant (A : Real_Matrix) return Real'Base;
function Solve (A, X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Inverse (A : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Determinant (A : Real_Matrix) return Real'Base;
-- Собственные значения и векторы вещественной симметричной матрицы
function Eigenvalues (A : Real_Matrix) return Real_Vector;
procedure Eigensystem (A : in Real_Matrix;
Values : out Real_Vector;
Vectors : out Real_Matrix);
Values : out Real_Vector;
Vectors : out Real_Matrix);
-- Другие операции с Real_Matrix
function Unit_Matrix (Order : Positive;
First_1, First_2 : Integer := 1)
return Real_Matrix;
First_1, First_2 : Integer := 1)
return Real_Matrix;
end Ada.Numerics.Generic_Real_Arrays;
Пакет библиотеки Numerics.Real_Arrays объявлен чистым и определяет те же типы и подпрограммы, что и Numerics.Generic_Real_Arrays, за исключением того, что предопределенный тип Float систематически подставляется вместо Real'Base. Аналогичным образом определяются непараметрические эквиваленты для каждого из других предопределенных типов с плавающей точкой, с именами Numerics.Short_Real_Arrays, Numerics.Long_Real_Arrays и т.д.
Два типа определены и экспортированы пакетом Numerics.Generic_Real_Arrays. Композиционный тип Real_Vector предназначен для представления вектора с компонентами типа Real; он определен как не ограниченный одномерный массив с индексом типа Integer. Композиционный тип Real_Matrix предназначен для представления матрицы с компонентами типа Real; он определен как не ограниченный двумерный массив с индексами типа Integer.
Действие различных подпрограмм описано ниже. В большинстве случаев подпрограммы описываются с точки зрения соответствующих скалярных операций типа Real; любое исключение, возникающее при этих операциях, распространяется на операцию с массивом. Более того, точность результата для каждой отдельной компоненты определяется как для скалярной операции, если не указано иное.
В случае тех операций, которые определены как включающие внутреннее произведение, Constraint_Error может быть вызван, если промежуточный результат выходит за пределы диапазона Real'Base, даже если математический конечный результат не выходит за пределы.
function "+" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Right. Диапазон индексов результата — Right'Range.
function "+" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Left и соответствующей компоненте Right. Диапазон индексов результата — Left'Range. Constraint_Error возникает, если Left'Length не равен Right'Length.
function "*" (Left, Right : Real_Vector) return Real'Base;
Эта операция возвращает внутреннее произведение Left и Right. Constraint_Error возникает, если Left'Length не равен Right'Length. Эта операция включает внутреннее произведение.
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real'Base;
Эта операция возвращает L2-норму Right (квадратный корень из внутреннего произведения вектора на себя).
function "*" (Left : Real'Base; Right : Real_Vector) return Real_Vector;
Эта операция возвращает результат умножения каждой компоненты Right на скаляр Left с использованием операции "*" типа Real. Диапазон индексов результата — Right'Range.
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base) return Real_Vector;
function "/" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base) return Real_Vector;
function "/" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base) return Real_Vector;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Left и скаляру Right. Диапазон индексов результата — Left'Range.
function Unit_Vector (Index : Integer;
Order : Positive;
First : Integer := 1) return Real_Vector;
Order : Positive;
First : Integer := 1) return Real_Vector;
Эта функция возвращает единичный вектор с Order компонентами и нижней границей First. Все компоненты установлены в 0,0, за исключением компоненты Index, которая установлена в 1,0. Constraint_Error возникает, если Index < First, Index > First + Order – 1 или если First + Order – 1 > Integer'Last.
function "+" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "abs" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "abs" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Right. Диапазоны индексов результата — те же, что и у Right.
function Transpose (X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Эта функция возвращает транспонированную матрицу X. Первый и второй диапазоны индексов результата — X'Range(2) и X'Range(1) соответственно.
function "+" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Left и соответствующей компоненте Right. Диапазоны индексов результата — те же, что и у Left. Constraint_Error возникает, если Left'Length(1) не равен Right'Length(1) или Left'Length(2) не равен Right'Length(2).
function "*" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Эта операция предоставляет стандартную математическую операцию для умножения матриц. Первый и второй диапазоны индексов результата — Left'Range(1) и Right'Range(2) соответственно. Constraint_Error возникает, если Left'Length(2) не равен Right'Length(1). Эта операция включает внутренние произведения.
function "*" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Matrix;
Эта операция возвращает внешнее произведение вектора Left (столбец) на вектор Right (строка) с использованием операции "*" типа Real для вычисления отдельных компонентов. Первый и второй диапазоны индексов результата — Left'Range и Right'Range соответственно.
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real_Matrix) return Real_Vector;
Данная операция предоставляет стандартную математическую операцию умножения вектор-строки Left на матрицу Right. Диапазон индексов результата (вектора-строки) — Right'Range(2). Ошибка Constraint_Error возникает, если Left'Length не равен Right'Length(1). Эта операция включает внутренние произведения.
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real_Vector) return Real_Vector;
Данная операция предоставляет стандартную математическую операцию умножения матрицы Left на вектор-столбец Right. Диапазон индексов результата (вектора-столбца) — Left'Range(1). Ошибка Constraint_Error возникает, если Left'Length(2) не равен Right'Length. Эта операция включает внутренние произведения.
function "*" (Left : Real'Base; Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Данная операция возвращает результат умножения каждого компонента Right на скаляр Left с использованием операции "*" типа Real. Диапазоны индексов результата — те же, что и у Right.
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base) return Real_Matrix;
function "/" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base) return Real_Matrix;
function "/" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base) return Real_Matrix;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждому компоненту Left и скаляру Right. Диапазоны индексов результата — те же, что и у Left.
function Solve (A : Real_Matrix; X : Real_Vector) return Real_Vector;
Эта функция возвращает вектор Y такой, что X приблизительно равен A * Y. Это стандартная математическая операция для решения одного набора линейных уравнений. Диапазон индексов результата — A'Range(2). Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1), A'Length(2) и X'Length не равны. Ошибка Constraint_Error возникает, если матрица A плохо обусловлена.
function Solve (A, X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Эта функция возвращает матрицу Y такую, что X приблизительно равен A * Y. Это стандартная математическая операция для решения нескольких наборов линейных уравнений. Диапазоны индексов результата — A'Range(2) и X'Range(2). Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1), A'Length(2) и X'Length(1) не равны. Ошибка Constraint_Error возникает, если матрица A плохо обусловлена.
function Inverse (A : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Эта функция возвращает матрицу B такую, что A * B приблизительно равна единичной матрице. Диапазоны индексов результата — A'Range(2) и A'Range(1). Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1) не равен A'Length(2). Ошибка Constraint_Error возникает, если матрица A плохо обусловлена.
function Determinant (A : Real_Matrix) return Real'Base;
Эта функция возвращает определитель матрицы A. Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1) не равен A'Length(2).
function Eigenvalues(A : Real_Matrix) return Real_Vector;
Эта функция возвращает собственные значения симметричной матрицы A как вектор, отсортированный по убыванию, с наибольшим значением в начале. Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1) не равен A'Length(2). Диапазон индексов результата — A'Range(1). Ошибка Argument_Error возникает, если матрица A не симметрична.
procedure Eigensystem(A : in Real_Matrix;
Values : out Real_Vector;
Vectors : out Real_Matrix);
Values : out Real_Vector;
Vectors : out Real_Matrix);
Эта процедура вычисляет как собственные значения, так и собственные векторы симметричной матрицы A. Параметр Values соответствует значению, полученному при вызове функции Eigenvalues. Параметр Vectors — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы A. Порядок столбцов соответствует порядку собственных значений. Собственные векторы нормированы и попарно ортогональны (они ортонормированы), включая случаи повторения собственных значений. Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1) не равен A'Length(2). Диапазоны индексов параметра Vectors — те же, что и у A. Ошибка Argument_Error возникает, если матрица A не симметрична.
function Unit_Matrix (Order : Positive;
First_1, First_2 : Integer := 1) return Real_Matrix;
First_1, First_2 : Integer := 1) return Real_Matrix;
Эта функция возвращает квадратную единичную матрицу с Order**2 компонентами и нижними границами First_1 и First_2 (для первого и второго диапазонов индексов соответственно). Все компоненты равны 0.0, за исключением элементов главной диагонали, которые равны 1.0. Ошибка Constraint_Error возникает, если First_1 + Order – 1 > Integer'Last или First_2 + Order – 1 > Integer'Last.
Требования к реализации
Требования к точности для подпрограмм Solve, Inverse, Determinant, Eigenvalues и Eigensystem определены реализацией.
Для операций, не включающих внутренние произведения, требования к точности соответствуют соответствующим операциям типа Real как в строгом, так и в ослабленном режиме (см. G.2).
Для операций, включающих внутреннее произведение, в ослабленном режиме требования не указаны. В строгом режиме модуль абсолютной ошибки внутреннего произведения X*Y не должен превышать g*abs(X)*abs(Y), где g определяется как
g = X'Length * Real'Machine_Radix**(1 – Real'Model_Mantissa)
Для L2-нормы в ослабленном режиме требования к точности не указаны. В строгом режиме относительная ошибка нормы не должна превышать g / 2.0 + 3.0 * Real'Model_Epsilon, где g определяется как указано выше.
Требования к документации
Реализации должны документировать любые используемые методы для уменьшения ошибок округления, такие как арифметика с расширенной точностью.
Разрешения для реализации
Негенерические эквивалентные пакеты могут, но не обязаны, быть фактическими экземплярами генерического пакета для соответствующего предопределенного типа.
Рекомендации по реализации
Реализации должны реализовывать функции Solve и Inverse, используя устоявшиеся методы, такие как LU-разложение с перестановкой строк, за которым следуют прямая и обратная подстановки. Реализации рекомендуют уточнять результат, выполняя итерацию по остаткам; если это делается, то это должно быть задокументировано.
Не предполагается, что какие-либо специальные меры должны быть предприняты для определения того, является ли матрица плохо обусловленной или нет. Естественно возникающее переполнение (включая деление на ноль), которое будет результатом выполнения этих функций с плохо обусловленной матрицей и, таким образом, вызовет ошибку Constraint_Error, является достаточным.
Проверка на симметричность матрицы должна выполняться с использованием оператора равенства для сравнения соответствующих компонентов.
