Справочник по Ada (Ada 2022)
G.3.1 Вещественные векторы и матрицы
Статическая семантика
В обобщённом пакете библиотек Numerics.Generic_Real_Arrays содержится следующее объявление:
generic
type Real is digits <>;
package Ada.Numerics.Generic_Real_Arrays
with Pure, Nonblocking is
type Real is digits <>;
package Ada.Numerics.Generic_Real_Arrays
with Pure, Nonblocking is
-- Типы
type Real_Vector is array (Integer range <>) of Real'Base;
type Real_Matrix is array (Integer range <>, Integer range <>)
of Real'Base;
type Real_Matrix is array (Integer range <>, Integer range <>)
of Real'Base;
-- Подпрограммы для типов Real_Vector
-- Арифметические операции над Real_Vector
function "+" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "+" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "*" (Left, Right : Real_Vector) return Real'Base;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real'Base;
-- Масштабирующие операции над Real_Vector
function "*" (Left : Real'Base; Right : Real_Vector)
return Real_Vector;
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base)
return Real_Vector;
function "/" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base)
return Real_Vector;
return Real_Vector;
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base)
return Real_Vector;
function "/" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base)
return Real_Vector;
-- Другие операции над Real_Vector
function Unit_Vector (Index : Integer;
Order : Positive;
First : Integer := 1) return Real_Vector;
Order : Positive;
First : Integer := 1) return Real_Vector;
-- Подпрограммы для типов Real_Matrix
-- Арифметические операции над Real_Matrix
function "+" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "abs" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Transpose (X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "abs" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Transpose (X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "+" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "*" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "*" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "*" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Matrix;
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real_Matrix)
return Real_Vector;
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real_Vector)
return Real_Vector;
return Real_Vector;
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real_Vector)
return Real_Vector;
-- Масштабирующие операции над Real_Matrix
function "*" (Left : Real'Base; Right : Real_Matrix)
return Real_Matrix;
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base)
return Real_Matrix;
function "/" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base)
return Real_Matrix;
return Real_Matrix;
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base)
return Real_Matrix;
function "/" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base)
return Real_Matrix;
-- Обращение матриц Real_Matrix и связанные операции
function Solve (A : Real_Matrix; X : Real_Vector) return Real_Vector;
function Solve (A, X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Inverse (A : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Determinant (A : Real_Matrix) return Real'Base;
function Solve (A, X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Inverse (A : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function Determinant (A : Real_Matrix) return Real'Base;
-- Собственные значения и векторы вещественной симметричной матрицы
function Eigenvalues (A : Real_Matrix) return Real_Vector;
procedure Eigensystem (A : in Real_Matrix;
Values : out Real_Vector;
Vectors : out Real_Matrix);
Values : out Real_Vector;
Vectors : out Real_Matrix);
-- Другие операции над Real_Matrix
function Unit_Matrix (Order : Positive;
First_1, First_2 : Integer := 1)
return Real_Matrix;
First_1, First_2 : Integer := 1)
return Real_Matrix;
end Ada.Numerics.Generic_Real_Arrays;
Пакет библиотек Numerics.Real_Arrays объявлен как чистый и определяет те же типы и подпрограммы, что и Numerics.Generic_Real_Arrays, за исключением того, что предопределённый тип Float систематически подставляется вместо Real'Base. Аналогичные негонические эквиваленты для каждого из других предопределённых типов с плавающей запятой определены аналогичным образом, с именами Numerics.Short_Real_Arrays, Numerics.Long_Real_Arrays и т. д.
Два типа определены и экспортированы пакетом Numerics.Generic_Real_Arrays. Составной тип Real_Vector предназначен для представления вектора с компонентами типа Real; он определён как неограниченный одномерный массив с индексом типа Integer. Составной тип Real_Matrix предназначен для представления матрицы с компонентами типа Real; он определён как неограниченный двумерный массив с индексами типа Integer.
Действие различных подпрограмм описано ниже. В большинстве случаев подпрограммы описываются с точки зрения соответствующих скалярных операций типа Real; любое исключение, которое возникает при этих операциях, распространяется на операцию с массивом. Более того, точность результата для каждой отдельной компоненты определяется так же, как и для скалярной операции, если не указано иное.
В случае тех операций, которые определены как включающие внутреннее произведение, может быть поднято исключение Constraint_Error, если промежуточный результат находится вне диапазона Real'Base, даже если математический конечный результат не будет.
function "+" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real_Vector;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Right. Диапазон индексов результата — Right'Range.
function "+" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
function "-" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Vector;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Left и соответствующей компоненте Right. Диапазон индексов результата — Left'Range. Если Left'Length не равно Right'Length, то возникает исключение Constraint_Error.
function "*" (Left, Right : Real_Vector) return Real'Base;
Эта операция возвращает внутреннее произведение Left и Right. Если Left'Length не равно Right'Length, то возникает исключение Constraint_Error. Эта операция включает внутреннее произведение.
function "abs" (Right : Real_Vector) return Real'Base;
Эта операция возвращает L2-норму Right (квадратный корень из внутреннего произведения вектора на себя).
function "*" (Left : Real'Base; Right : Real_Vector) return Real_Vector;
Эта операция возвращает результат умножения каждой компоненты Right на скаляр Left с использованием операции "*" типа Real. Диапазон индексов результата — Right'Range.
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base) return Real_Vector;
function "/" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base) return Real_Vector;
function "/" (Left : Real_Vector; Right : Real'Base) return Real_Vector;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Left и скаляру Right. Диапазон индексов результата — Left'Range.
function Unit_Vector (Index : Integer;
Order : Positive;
First : Integer := 1) return Real_Vector;
Order : Positive;
First : Integer := 1) return Real_Vector;
Эта функция возвращает единичный вектор с Order компонентами и нижней границей First. Все компоненты установлены в 0,0, за исключением компоненты Index, которая установлена в 1,0. Если Index < First, Index > First + Order – 1 или если First + Order – 1 > Integer'Last, то возникает исключение Constraint_Error.
function "+" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "abs" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "abs" (Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Right. Диапазоны индексов результата — те же, что и у Right.
function Transpose (X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Эта функция возвращает транспонированную матрицу X. Первый и второй диапазоны индексов результата — X'Range(2) и X'Range(1) соответственно.
function "+" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
function "-" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждой компоненте Left и соответствующей компоненте Right. Диапазоны индексов результата — те же, что и у Left. Если Left'Length(1) не равно Right'Length(1) или Left'Length(2) не равно Right'Length(2), то возникает исключение Constraint_Error.
function "*" (Left, Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Эта операция предоставляет стандартную математическую операцию умножения матриц. Первый и второй диапазоны индексов результата — Left'Range(1) и Right'Range(2) соответственно. Если Left'Length(2) не равно Right'Length(1), то возникает исключение Constraint_Error. Эта операция включает внутренние произведения.
function "*" (Left, Right : Real_Vector) return Real_Matrix;
Эта операция возвращает внешнее произведение (столбцового) вектора Left и (строчного) вектора Right, используя операцию "*" типа Real для вычисления отдельных компонент. Первый и второй диапазоны индексов результата — Left'Range и Right'Range соответственно.
function "*" (Left : Real_Vector; Right : Real_Matrix) return Real_Vector;
Данная операция выполняет стандартное математическое умножение (строки) вектора Left на матрицу Right. Диапазон индексов результата (строки) вектора равен Right'Range(2). Ошибка Constraint_Error возникает, если Left'Length не равен Right'Length(1). Данная операция включает в себя внутренние произведения.
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real_Vector) return Real_Vector;
Данная операция выполняет стандартное математическое умножение матрицы Left на (столбец) вектор Right. Диапазон индексов результата (столбца) вектора равен Left'Range(1). Ошибка Constraint_Error возникает, если Left'Length(2) не равен Right'Length. Данная операция включает в себя внутренние произведения.
function "*" (Left : Real'Base; Right : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Данная операция возвращает результат умножения каждого компонента Right на скаляр Left, используя операцию "*" типа Real. Диапазон индексов результата совпадает с диапазоном индексов Right.
function "*" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base) return Real_Matrix;
function "/" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base) return Real_Matrix;
function "/" (Left : Real_Matrix; Right : Real'Base) return Real_Matrix;
Каждая операция возвращает результат применения соответствующей операции типа Real к каждому компоненту Left и скаляру Right. Диапазон индексов результата совпадает с диапазоном индексов Left.
function Solve (A : Real_Matrix; X : Real_Vector) return Real_Vector;
Эта функция возвращает вектор Y, такой что X (приблизительно) равен A * Y. Это стандартная математическая операция для решения одной системы линейных уравнений. Диапазон индексов результата равен A'Range(2). Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1), A'Length(2) и X'Length не равны. Ошибка Constraint_Error возникает, если матрица A плохо обусловлена.
function Solve (A, X : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Эта функция возвращает матрицу Y, такую что X (приблизительно) равен A * Y. Это стандартная математическая операция для решения нескольких систем линейных уравнений. Диапазон индексов результата равен A'Range(2) и X'Range(2). Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1), A'Length(2) и X'Length(1) не равны. Ошибка Constraint_Error возникает, если матрица A плохо обусловлена.
function Inverse (A : Real_Matrix) return Real_Matrix;
Эта функция возвращает матрицу B, такую что A * B (приблизительно) равна единичной матрице. Диапазон индексов результата равен A'Range(2) и A'Range(1). Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1) не равен A'Length(2). Ошибка Constraint_Error возникает, если матрица A плохо обусловлена.
function Determinant (A : Real_Matrix) return Real'Base;
Эта функция возвращает определитель матрицы A. Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1) не равен A'Length(2).
function Eigenvalues(A : Real_Matrix) return Real_Vector;
Эта функция возвращает собственные значения симметричной матрицы A в виде вектора, отсортированного по убыванию. Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1) не равен A'Length(2). Диапазон индексов результата равен A'Range(1). Ошибка Argument_Error возникает, если матрица A не симметрична.
procedure Eigensystem(A : in Real_Matrix;
Values : out Real_Vector;
Vectors : out Real_Matrix);
Values : out Real_Vector;
Vectors : out Real_Matrix);
Эта процедура вычисляет собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы A. Параметр Values аналогичен значению, полученному при вызове функции Eigenvalues. Параметр Vectors — матрица, столбцы которой представляют собой собственные векторы матрицы A. Порядок столбцов соответствует порядку собственных значений. Собственные векторы нормированы и взаимно ортогональны (ортонормированы), в том числе при наличии повторяющихся собственных значений. Ошибка Constraint_Error возникает, если A'Length(1) не равен A'Length(2), или если Values'Range не равен A'Range(1), или если диапазон индексов параметра Vectors не равен диапазону индексов A. Ошибка Argument_Error возникает, если матрица A не симметрична. Ошибка Constraint_Error также может возникнуть в ситуациях, определённых реализацией, если алгоритм не сходится достаточно быстро.
function Unit_Matrix (Order : Positive;
First_1, First_2 : Integer := 1) return Real_Matrix;
First_1, First_2 : Integer := 1) return Real_Matrix;
Эта функция возвращает квадратную единичную матрицу с Order**2 компонентами и нижними границами First_1 и First_2 (для первого и второго диапазонов индексов соответственно). Все компоненты равны 0,0, за исключением элементов главной диагонали, которые равны 1,0. Ошибка Constraint_Error возникает, если First_1 + Order – 1 > Integer'Last или First_2 + Order – 1 > Integer'Last.
Требования к реализации
Требования к точности для подпрограмм Solve, Inverse, Determinant, Eigenvalues и Eigensystem определяются реализацией.
Для операций, не включающих внутреннее произведение, требования к точности соответствуют соответствующим операциям типа Real как в строгом, так и в расслабленном режимах (см. G.2).
Для операций, включающих внутреннее произведение, требования к точности в расслабленном режиме не указаны. В строгом режиме модуль абсолютной погрешности внутреннего произведения X*Y не должен превышать g*abs(X)*abs(Y), где g определяется как
g = X'Length * Real'Machine_Radix**(1 – Real'Model_Mantissa)
Для L2-нормы требования к точности в расслабленном режиме не указаны. В строгом режиме относительная погрешность нормы не должна превышать g / 2.0 + 3.0 * Real'Model_Epsilon, где g определено выше.
Требования к документации
Реализации должны документировать любые методы, используемые для уменьшения ошибок отмены, такие как арифметика с расширенной точностью.
Разрешения реализации
Негенерические пакеты могут быть фактическими инстанциациями генерического пакета для соответствующего предопределённого типа, хотя это и не обязательно.
Рекомендации по реализации
Реализации должны реализовывать функции Solve и Inverse, используя устоявшиеся методы, такие как LU-разложение с перестановкой строк, за которым следует прямой и обратный ход Гаусса. Реализации рекомендуется уточнять результат, выполняя итерацию по остаткам; если это делается, то это должно быть задокументировано.
Не предполагается, что должны быть предусмотрены какие-либо специальные меры для определения того, является ли матрица плохо обусловленной. Естественно возникающее переполнение (включая деление на ноль), которое возникнет при выполнении этих функций с плохо обусловленной матрицей и, следовательно, вызовет ошибку Constraint_Error, достаточно.
Проверка симметричности матрицы должна осуществляться с помощью оператора равенства для сравнения соответствующих компонентов.
Реализация должна минимизировать обстоятельства, при которых алгоритм, используемый для Eigenvalues и Eigensystem, не сходится.
