Линейная алгебра

Разложения матриц

Разложения матриц (также известные как разложения матриц) вычисляют разложение матрицы в произведение матриц и являются одним из центральных понятий линейной алгебры.

В следующей таблице обобщены типы разложений матриц, реализованные в Julia. Подробное описание связанных методов можно найти в разделе Линейная алгебра документации стандартной библиотеки.

`Cholesky`	Разложение Холецкого
`CholeskyPivoted`	Разложение Холецкого с выбором опорного элемента
`LU`	Разложение LU
`LUTridiagonal`	Разложение LU для треугольных матриц
`UmfpackLU`	Разложение LU для разреженных матриц (вычисляется UMFPack)
`QR`	Разложение QR
`QRCompactWY`	Компактная форма QR в виде WY
`QRPivoted`	Разложение QR с выбором опорного элемента
`Hessenberg`	Разложение в верхнегессенберговую форму
`Eigen`	Спектральное разложение
`SVD`	Разложение по сингулярным значениям (SVD)
`GeneralizedSVD`	Обобщенное SVD

Специальные матрицы

Матрицы со специальными симметриями и структурами часто встречаются в линейной алгебре и часто связаны с различными разложениями матриц. Julia предлагает богатый набор типов специальных матриц, которые позволяют быстро выполнять вычисления со специализированными процедурами, разработанными для конкретных типов матриц.

В следующих таблицах обобщены типы специальных матриц, реализованных в Julia, а также доступность связей к различным оптимизированным методам для них в LAPACK.

`Hermitian`	Эрмитова матрица
`UpperTriangular`	Верхняя треугольная матрица
`LowerTriangular`	Нижняя треугольная матрица
`Tridiagonal`	Трехдиагональная матрица
`SymTridiagonal`	Симметричная трехдиагональная матрица
`Bidiagonal`	Верхняя/нижняя двухдиагональная матрица
`Diagonal`	Диагональная матрица
`UniformScaling`	Матрица равномерного масштабирования

Элементарные операции

Тип матрицы	`+`	`-`	`*`	`\`	Другие функции с оптимизированными методами
`Hermitian`				MV	`inv()`, `sqrtm()`, `expm()`
`UpperTriangular`			MV	MV	`inv()`, `det()`
`LowerTriangular`			MV	MV	`inv()`, `det()`
`SymTridiagonal`	M	M	MS	MV	`eigmax()`, `eigmin()`
`Tridiagonal`	M	M	MS	MV
`Bidiagonal`	M	M	MS	MV
`Diagonal`	M	M	MV	MV	`inv()`, `det()`, `logdet()`, `/()`
`UniformScaling`	M	M	MVS	MVS	`/()`

Условные обозначения:

M (матрица)	Доступен оптимизированный метод для операций с матрицами
V (вектор)	Доступен оптимизированный метод для операций с матрицей и вектором
S (скаляр)	Доступен оптимизированный метод для операций с матрицей и скаляром

Разложения матриц

Тип матрицы	LAPACK	`eig()`	`eigvals()`	`eigvecs()`	`svd()`	`svdvals()`
`Hermitian`	HE		ARI
`UpperTriangular`	TR	A	A	A
`LowerTriangular`	TR	A	A	A
`SymTridiagonal`	ST	A	ARI	AV
`Tridiagonal`	GT
`Bidiagonal`	BD				A	A
`Diagonal`	DI		A

Условные обозначения:

A (все)	Доступен оптимизированный метод для поиска всех характеристических значений и/или векторов	например, `eigvals(M)`
R (диапазон)	Доступен оптимизированный метод для поиска характеристических значений с `il`^-го по `ih`^-й	`eigvals(M, il, ih)`
I (интервал)	Доступен оптимизированный метод для поиска характеристических значений в интервале [`vl`, `vh`]	`eigvals(M, vl, vh)`
V (векторы)	Доступен оптимизированный метод для поиска характеристических векторов, соответствующих характеристическим значениям `x=[x1, x2,...]`	`eigvecs(M, x)`

Оператор равномерного масштабирования

Оператор UniformScaling представляет скаляр, умноженный на оператор единицы, λ*I. Оператор единицы I определяется как константа и является экземпляром UniformScaling. Размер этих операторов является универсальным и соответствует другим матрицам в бинарных операциях +, -, * и \. Для A+I и A-I это означает, что A должна быть квадратной. Умножение на оператор единицы I является бесполезной операцией (кроме проверки, что коэффициент масштабирования равен единице) и, следовательно, практически не имеет накладных расходов.

© 2009–2016 Jeff Bezanson, Stefan Karpinski, Viral B. Shah, and other contributors
Licensed under the MIT License.
https://docs.julialang.org/en/release-0.5/manual/linear-algebra/