Статистика

std(itr; corrected::Bool=true, mean=nothing[, dims])

Вычислить выборочное стандартное отклонение коллекции itr.

Алгоритм возвращает оценку стандартного отклонения генеративного распределения при предположении, что каждый элемент в itr является независимо и одинаково распределённой выборкой из этого генеративного распределения. Для массивов это вычисление эквивалентно вычислению sqrt(sum((itr .- mean(itr)).^2) / (length(itr) - 1)). Если corrected равно true, то сумма масштабируется с помощью n-1, в то время как сумма масштабируется с помощью n, если corrected равно false, где n - количество элементов в itr.

Если itr является AbstractArray, то dims может быть предоставлено для вычисления стандартного отклонения по измерениям, и means может содержать средние значения для каждого измерения itr.

Может быть предоставлено предварительно вычисленное значение mean. Когда dims указано, mean должен быть массивом с такой же формой, что и mean(itr, dims=dims) (допускаются дополнительные концевые одноэлементные измерения).

stdm(itr, mean; corrected::Bool=true)

Вычислить выборочное стандартное отклонение коллекции itr, с известным(ыми) средним(ими) mean.

Алгоритм возвращает оценку стандартного отклонения генеративного распределения при предположении, что каждый элемент в itr является независимо и одинаково распределённой выборкой из этого генеративного распределения. Для массивов это вычисление эквивалентно вычислению sqrt(sum((itr .- mean(itr)).^2) / (length(itr) - 1)). Если corrected равно true, то сумма масштабируется с помощью n-1, в то время как сумма масштабируется с помощью n, если corrected равно false, где n - количество элементов в itr.

Если itr является AbstractArray, то dims может быть предоставлено для вычисления стандартного отклонения по измерениям. В этом случае mean должен быть массивом с такой же формой, что и mean(itr, dims=dims) (допускаются дополнительные концевые одноэлементные измерения).

var(itr; corrected::Bool=true, mean=nothing[, dims])

Вычислить выборочную дисперсию коллекции itr.

Алгоритм возвращает оценку дисперсии генеративного распределения при предположении, что каждый элемент в itr является независимо и одинаково распределённой выборкой из этого генеративного распределения. Для массивов это вычисление эквивалентно вычислению sum((itr .- mean(itr)).^2) / (length(itr) - 1)). Если corrected равно true, то сумма масштабируется с помощью n-1, в то время как сумма масштабируется с помощью n, если corrected равно false, где n - количество элементов в itr.

Если itr является AbstractArray, то dims может быть предоставлено для вычисления дисперсии по измерениям.

Может быть предоставлено предварительно вычисленное значение mean. Когда dims указано, mean должен быть массивом с такой же формой, что и mean(itr, dims=dims) (допускаются дополнительные концевые одноэлементные измерения).

varm(itr, mean; dims, corrected::Bool=true)

Вычислить выборочную дисперсию коллекции itr, с известным(ыми) средним(ими) mean.

Алгоритм возвращает оценку дисперсии генеративного распределения при предположении, что каждый элемент в itr является независимо и одинаково распределённой выборкой из этого генеративного распределения. Для массивов это вычисление эквивалентно вычислению sum((itr .- mean(itr)).^2) / (length(itr) - 1). Если corrected равно true, то сумма масштабируется с помощью n-1, в то время как сумма масштабируется с помощью n, если corrected равно false, где n - количество элементов в itr.

Если itr является AbstractArray, то dims может быть предоставлено для вычисления дисперсии по измерениям. В этом случае mean должен быть массивом с такой же формой, что и mean(itr, dims=dims) (допускаются дополнительные концевые одноэлементные измерения).

cor(x::AbstractVector)

Вернуть число один.

cor(X::AbstractMatrix; dims::Int=1)

Вычислить матрицу корреляции Пирсона матрицы X по измерению dims.

cor(x::AbstractVector, y::AbstractVector)

Вычислить корреляцию Пирсона между векторами x и y.

cor(X::AbstractVecOrMat, Y::AbstractVecOrMat; dims=1)

Вычислить корреляцию Пирсона между векторами или матрицами X и Y по измерению dims.

cov(x::AbstractVector; corrected::Bool=true)

Вычислить дисперсию вектора x Если corrected равно true (по умолчанию), то сумма масштабируется с помощью n-1, в то время как сумма масштабируется с помощью n, если corrected равно false, где n = length(x).

cov(X::AbstractMatrix; dims::Int=1, corrected::Bool=true)

Вычислить ковариационную матрицу матрицы X по измерению dims Если corrected равно true (по умолчанию), то сумма масштабируется с помощью n-1, в то время как сумма масштабируется с помощью n, если corrected равно false, где n = size(X, dims).

cov(x::AbstractVector, y::AbstractVector; corrected::Bool=true)

Вычислить ковариацию между векторами x и y. Если corrected равно true (по умолчанию), вычисляет $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x) (y_i-\bar y)^*$, где $*$ обозначает комплексно сопряжённое значение и n = length(x) = length(y). Если corrected равно false, вычисляет $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x) (y_i-\bar y)^*$.

cov(X::AbstractVecOrMat, Y::AbstractVecOrMat; dims::Int=1, corrected::Bool=true)

Вычислить ковариацию между векторами или матрицами X и Y вдоль размерности dims. Если corrected равно true (по умолчанию), то сумма масштабируется с помощью n-1, в то время как сумма масштабируется с помощью n, если corrected равно false, где n = size(X, dims) = size(Y, dims).

mean!(r, v)

Вычислить среднее значение v по одноэлементным размерностям r, и записать результаты в r.

Примеры

julia> using Statistics

julia> v = [1 2; 3 4]
2×2 Array{Int64,2}:
 1  2
 3  4

julia> mean!([1., 1.], v)
2-element Array{Float64,1}:
 1.5
 3.5

julia> mean!([1. 1.], v)
1×2 Array{Float64,2}:
 2.0  3.0

mean(itr)

Вычислить среднее значение всех элементов в коллекции.

Примеры

julia> using Statistics

julia> mean(1:20)
10.5

julia> mean([1, missing, 3])
missing

julia> mean(skipmissing([1, missing, 3]))
2.0

mean(f::Function, itr)

Применить функцию f к каждому элементу коллекции itr и вычислить среднее значение.

julia> using Statistics

julia> mean(√, [1, 2, 3])
1.3820881233139908

julia> mean([√1, √2, √3])
1.3820881233139908

mean(f::Function, A::AbstractArray; dims)

Применить функцию f к каждому элементу массива A и вычислить среднее значение по размерностям dims.

julia> using Statistics

julia> mean(√, [1, 2, 3])
1.3820881233139908

julia> mean([√1, √2, √3])
1.3820881233139908

julia> mean(√, [1 2 3; 4 5 6], dims=2)
2×1 Array{Float64,2}:
 1.3820881233139908
 2.2285192400943226

mean(A::AbstractArray; dims)

Вычислить среднее значение массива по заданным размерностям.

Примеры

julia> using Statistics

julia> A = [1 2; 3 4]
2×2 Array{Int64,2}:
 1  2
 3  4

julia> mean(A, dims=1)
1×2 Array{Float64,2}:
 2.0  3.0

julia> mean(A, dims=2)
2×1 Array{Float64,2}:
 1.5
 3.5

median!(v)

Аналогично median, но может перезаписывать входной вектор.

median(itr)

Вычислить медиану всех элементов в коллекции. Для чётного числа элементов точного медианного элемента не существует, поэтому результат эквивалентен вычислению среднего из двух медианных элементов.

Примеры

julia> using Statistics

julia> median([1, 2, 3])
2.0

julia> median([1, 2, 3, 4])
2.5

julia> median([1, 2, missing, 4])
missing

julia> median(skipmissing([1, 2, missing, 4]))
2.0

median(A::AbstractArray; dims)

Вычислить медиану массива по заданным размерностям.

Примеры

julia> using Statistics

julia> median([1 2; 3 4], dims=1)
1×2 Array{Float64,2}:
 2.0  3.0

middle(x)

Вычислить середину скалярного значения, что эквивалентно самому x, но типа middle(x, x) для согласованности.

middle(x, y)

Вычислить середину двух вещественных чисел x и y, что эквивалентно по значению и типу вычислению их среднего ((x + y) / 2).

middle(range)

Вычислить середину диапазона, что заключается в вычислении среднего его экстремумов. Поскольку диапазон отсортирован, вычисление среднего выполняется с использованием первого и последнего элемента.

julia> using Statistics

julia> middle(1:10)
5.5

middle(a)

Вычислить середину массива a, что заключается в поиске его экстремумов и вычислении их среднего.

julia> using Statistics

julia> a = [1,2,3.6,10.9]
4-element Array{Float64,1}:
  1.0
  2.0
  3.6
 10.9

julia> middle(a)
5.95

quantile!([q::AbstractArray, ] v::AbstractVector, p; sorted=false, alpha::Real=1.0, beta::Real=alpha)

Вычислить квантиль(и) вектора v в заданной вероятности или векторе или кортеже вероятностей p в интервале [0,1]. Если p является вектором, также может быть указан необязательный выходной массив q. (Если не указан, создаётся новый выходной массив.) Параметр sorted указывает, можно ли предположить, что v отсортирован; если false (по умолчанию), то элементы v будут частично отсортированы на месте.

По умолчанию (alpha = beta = 1) квантили вычисляются путём линейной интерполяции между точками ((k-1)/(n-1), v[k]), для k = 1:n, где n = length(v). Это соответствует определению 7 Хиндмана и Фэна (1996), и совпадает с значениями по умолчанию для R и NumPy.

Параметры alpha и beta соответствуют тем же параметрам в работе Хиндмана и Фэна, установка которых на различные значения позволяет вычислить квантили с помощью любого из методов 4-9, определённых в этой статье:

• Опр. 4: alpha=0, beta=1
• Опр. 5: alpha=0.5, beta=0.5
• Опр. 6: alpha=0, beta=0 (Excel PERCENTILE.EXC, Python по умолчанию, Stata altdef)
• Опр. 7: alpha=1, beta=1 (Julia, R и NumPy по умолчанию, Excel PERCENTILE и PERCENTILE.INC, Python 'inclusive')
• Опр. 8: alpha=1/3, beta=1/3
• Опр. 9: alpha=3/8, beta=3/8

Ссылки

• Хиндман, Р. Дж. и Фэн, Й. (1996) "Выборочные квантили в статистических пакетах", The American Statistician, т. 50, № 4, стр. 361-365

• Квантиль на Википедии подробнее описывает различные определения квантилей

Примеры

julia> using Statistics

julia> x = [3, 2, 1];

julia> quantile!(x, 0.5)
2.0

julia> x
3-element Array{Int64,1}:
 1
 2
 3

julia> y = zeros(3);

julia> quantile!(y, x, [0.1, 0.5, 0.9]) === y
true

julia> y
3-element Array{Float64,1}:
 1.2000000000000002
 2.0
 2.8000000000000003

quantile(itr, p; sorted=false, alpha::Real=1.0, beta::Real=alpha)

Вычислить квантиль(и) коллекции itr в заданной вероятности или векторе или кортеже вероятностей p на интервале [0,1]. Ключевое слово sorted указывает, можно ли считать itr отсортированными.

Квантили выборок определяются Q(p) = (1-γ)*x[j] + γ*x[j+1], где $x[j]$ — j-й порядковый статистический показатель, и γ является функцией от j = floor(n*p + m), m = alpha + p*(1 - alpha - beta) и g = n*p + m - j.

По умолчанию (alpha = beta = 1) квантили вычисляются с помощью линейной интерполяции между точками ((k-1)/(n-1), v[k]), для k = 1:n где n = length(itr). Это соответствует определению 7 Хайндмана и Фэна (1996) и совпадает с параметрами по умолчанию в R и NumPy.

Ключевые слова alpha и beta соответствуют тем же параметрам в Хайндмане и Фэне, установка других значений позволяет вычислять квантили с использованием любого из методов 4-9, определенных в этой статье:

• Опр. 4: alpha=0, beta=1
• Опр. 5: alpha=0.5, beta=0.5
• Опр. 6: alpha=0, beta=0 (Excel PERCENTILE.EXC, значение по умолчанию в Python, Stata altdef)
• Опр. 7: alpha=1, beta=1 (Julia, R и NumPy по умолчанию, Excel PERCENTILE и PERCENTILE.INC, Python 'inclusive')
• Опр. 8: alpha=1/3, beta=1/3
• Опр. 9: alpha=3/8, beta=3/8

Ссылки

• Хайндман, Р.Д. и Фэн, Ю. (1996) «Выборочные квантили в статистических пакетах», The American Statistician, том 50, № 4, стр. 361-365

• Квантиль в Википедии содержит подробное описание различных определений квантилей

Примеры

julia> using Statistics

julia> quantile(0:20, 0.5)
10.0

julia> quantile(0:20, [0.1, 0.5, 0.9])
3-element Array{Float64,1}:
  2.0
 10.0
 18.000000000000004

julia> quantile(skipmissing([1, 10, missing]), 0.5)
5.5