треугольные сетки

matplotlib.tri

Функции для работы с неструктурированными треугольными сетками.

class matplotlib.tri.Triangulation(x, y, triangles=None, mask=None) [source]

Неструктурированная треугольная сетка, состоящая из npoints точек и ntri треугольников. Треугольники могут быть заданы пользователем или автоматически сгенерированы с помощью триангуляции Делоне.

Параметры:	x, y : array-like of shape (npoints) Координаты точек сетки. triangles : integer array_like of shape (ntri, 3), optional Для каждого треугольника индексы трех точек, образующих треугольник, упорядоченные против часовой стрелки. Если не указаны, то выполняется вычисление триангуляции Делоне. mask : boolean array-like of shape (ntri), optional Треугольники, которые будут замаскированы.

Примечания

Для того, чтобы триангуляция была корректной, она не должна содержать дублирующих точек, треугольников, образованных коллинеарными точками, или перекрывающихся треугольников.

Атрибуты:

edges : int array of shape (nedges, 2) Возвращает целочисленный массив формы (nedges, 2), содержащий все рёбра не замаскированных треугольников. neighbors : int array of shape (ntri, 3) Возвращает целочисленный массив формы (ntri, 3), содержащий соседние треугольники. mask : bool array of shape (ntri, 3) Замаскированные треугольники. is_delaunay : bool Является ли триангуляция вычисленной триангуляцией Делоне (если triangles не был указан) или нет.

calculate_plane_coefficients(z) [source]

Вычисление коэффициентов уравнения плоскости для всех незамаскированных треугольников по координатам точек (x, y) и заданному массиву z-значений формы (npoints). Возвращаемый массив имеет форму (npoints, 3) и позволяет вычислить z-значение в точке (x, y) в треугольнике tri с помощью z = array[tri, 0] * x  + array[tri, 1] * y + array[tri, 2].

edges

Возвращает целочисленный массив формы (nedges, 2), содержащий все рёбра не замаскированных треугольников.

Каждая строка определяет ребро по индексу начальной и конечной точек. Каждое ребро встречается только один раз, т.е. для ребра между точками i и j будет только либо (i, j), либо (j, i).

get_cpp_triangulation() [source]

Возвращает объект C++ Triangulation, создавая его при необходимости.

static get_from_args_and_kwargs(*args, **kwargs) [source]

Возвращает объект Triangulation из args и kwargs, а также оставшиеся args и kwargs со значениями, использованными в создании.

Существует два варианта: либо первый аргумент является объектом Triangulation, в этом случае он возвращается, либо args и kwargs достаточны для создания нового объекта Triangulation для возврата. В последнем случае см. Triangulation.__init__ для возможных args и kwargs.

get_masked_triangles() [source]

Возвращает массив треугольников, которые не замаскированы.

get_trifinder() [source]

Возвращает значение по умолчанию matplotlib.tri.TriFinder этой триангуляции, создавая его при необходимости. Это позволяет легко использовать один и тот же объект TriFinder.

neighbors

Возвращает целочисленный массив формы (ntri, 3), содержащий соседние треугольники.

Для каждого треугольника индексы трех треугольников, которые имеют общие рёбра, или -1, если такого соседнего треугольника нет. neighbors[i,j] - это треугольник, который является соседом ребра от точки с индексом triangles[i,j] до точки с индексом triangles[i,(j+1)%3].

set_mask(mask) [source]

Установка или сброс маски. Это либо None, либо булевый массив формы (ntri).

class matplotlib.tri.TriFinder(triangulation) [source]

Абстрактный базовый класс для классов, используемых для поиска треугольников триангуляции, в которых лежат точки (x, y).

Вместо создания объекта класса, производного от TriFinder, обычно лучше использовать функцию matplotlib.tri.Triangulation.get_trifinder().

Производные классы реализуют __call__(x,y), где x,y являются массивоподобными координатами точек одинаковой формы.

class matplotlib.tri.TrapezoidMapTriFinder(triangulation) [source]

Наследуется от matplotlib.tri.trifinder.TriFinder

TriFinder класс, реализованный с использованием алгоритма карты трапеций из книги «Вычислительная геометрия, алгоритмы и приложения», второе издание, М. де Берг, М. ван Кревельд, М. Овермарс и О. Шварцкопф.

Триангуляция должна быть корректной, т.е. она не должна содержать дублирующих точек, треугольников, образованных коллинеарными точками, или перекрывающихся треугольников. Алгоритм имеет некоторую толерантность к треугольникам, образованным коллинеарными точками, но на этом полагаться не стоит.

class matplotlib.tri.TriInterpolator(triangulation, z, trifinder=None) [source]

Абстрактный базовый класс для классов, используемых для интерполяции на треугольных сетках.

Производные классы реализуют следующие методы:

• __call__(x, y) , где x, y являются массивоподобными координатами точек одинаковой формы, и который возвращает массив с маской той же формы, содержащий интерполированные z-значения.
• gradient(x, y) , где x, y являются массивоподобными координатами точек одинаковой формы, и который возвращает список из 2 массивов с маской той же формы, содержащих 2 производные интерполятора (производные интерполированных z-значений по x и y).

class matplotlib.tri.LinearTriInterpolator(triangulation, z, trifinder=None) [source]

Базы: matplotlib.tri.triinterpolate.TriInterpolator

LinearTriInterpolator выполняет линейную интерполяцию на треугольной сетке.

Каждый треугольник представлен плоскостью, так что интерполированное значение в точке (x, y) лежит на плоскости треугольника, содержащего (x, y). Интерполированные значения, следовательно, непрерывны на всей триангуляции, но их первые производные разрывны на ребрах между треугольниками.

Параметры:	triangulation : Triangulation object Триангуляция, над которой выполняется интерполяция. z : array_like of shape (npoints,) Массив значений, определённых в узлах сетки, между которыми выполняется интерполяция. trifinder : TriFinder object, optional Если это не указано, будет использован стандартный TriFinder триангуляции, вызывающий matplotlib.tri.Triangulation.get_trifinder().

Методы

`__call__` (x, y)	( Возвращает интерполированные значения в точках x, y)
`gradient` (x, y)	(Возвращает интерполированные производные в точках x, y)

gradient(x, y) [source]

Возвращает список из 2-х маскированных массивов, содержащих интерполированные производные в указанных точках x, y.

Параметры:	x, y : array-like Координаты x и y той же формы и любого количества измерений.
Возвращает:	dzdx, dzdy : np.ma.array 2 маскированных массива той же формы, что и x и y; значения, соответствующие точкам (x, y) вне триангуляции, маскируются. Первый возвращённый массив содержит значения , а второй — значения .

class matplotlib.tri.CubicTriInterpolator(triangulation, z, kind='min_E', trifinder=None, dz=None) [source]

Базы: matplotlib.tri.triinterpolate.TriInterpolator

CubicTriInterpolator выполняет кубическую интерполяцию на треугольных сетках.

В одном измерении — на отрезке — кубическая интерполяционная функция определяется значениями функции и её производной в обеих концах. Почти то же самое происходит во 2-х измерениях внутри треугольника, за исключением того, что значения функции и её 2-х производных должны быть определены в каждом узле треугольника.

CubicTriInterpolator принимает значение функции в каждом узле — предоставляемое пользователем — и внутренне вычисляет значение производных, что приводит к гладкой интерполяции. (В качестве специальной функции пользователь может также задать значение производных в каждом узле, но это не предполагается в общем случае.)

Параметры:

triangulation : Triangulation object Триангуляция, над которой выполняется интерполяция. z : array_like of shape (npoints,) Массив значений, определённых в узлах сетки, между которыми выполняется интерполяция. kind : {'min_E', 'geom', 'user'}, optional Выбор алгоритма сглаживания для вычисления производных интерполянта (по умолчанию 'min_E'): если 'min_E': (по умолчанию) Производные в каждом узле вычисляются для минимизации энергии изгиба. если 'geom': Производные в каждом узле вычисляются как взвешенное среднее соответствующих нормалей треугольников. Используется для ускорения (большие сетки). если 'user': Пользователь предоставляет аргумент dz, вычисление не требуется. trifinder : TriFinder object, optional Если не указано, будет использован стандартный TriFinder триангуляции, вызывающий matplotlib.tri.Triangulation.get_trifinder(). dz : tuple of array_likes (dzdx, dzdy), optional Используется только если kind ='user'. В этом случае dz должен быть предоставлен как (dzdx, dzdy), где dzdx, dzdy — массивы той же формы, что и z, и представляют собой первые производные интерполянта в точках triangulation.

Примечания

Это техническое примечание, которое подробнее описывает, как CubicTriInterpolator выполняет кубическую интерполяцию.

Интерполяция основана на схеме подразбиения Клоуга-Точера сетки triangulation (проще говоря, каждый треугольник сетки делится на 3 дочерних треугольника, а на каждом дочернем треугольнике интерполированная функция представляет собой кубический многочлен от 2-х координат). Этот метод происходит из анализа МКЭ (метод конечных элементов); используемый элемент — это уменьшенный элемент Хси-Клоуг-Точера (HCT). Его функции формы описаны в [1]. Объединённая функция гарантированно имеет гладкость C1, т. е. она непрерывна, и её первые производные также непрерывны (это легко показать внутри треугольников, но это также верно при пересечении рёбер).

В случае по умолчанию (kind ='min_E'), интерполянт минимизирует энергию кривизны в функциональном пространстве, сгенерированном функциями формы элемента HCT — с заданными значениями, но произвольными производными в каждом узле. Минимизируемый функционал — это интеграл так называемой общей кривизны (реализация основана на алгоритме из [2] — разряжённый решатель PCG):

Если пользователь выбирает вариант kind ='geom', используется простое геометрическое приближение (взвешенное среднее векторов нормалей треугольников), что может повысить скорость на очень больших сетках.

Ссылки

[1]	(1, 2) Michel Bernadou, Kamal Hassan, "Basis functions for general Hsieh-Clough-Tocher triangles, complete or reduced.", International Journal for Numerical Methods in Engineering, 17(5):784 - 789. 2.01.

[2]	(1, 2) C.T. Kelley, "Iterative Methods for Optimization".

Методы

`__call__` (x, y)	( Возвращает интерполированные значения в точках x, y)
`gradient` (x, y)	(Возвращает интерполированные производные в точках x, y)

gradient(x, y) [source]

Возвращает список из 2-х маскированных массивов, содержащих интерполированные производные в указанных точках x, y.

Параметры:	x, y : array-like Координаты x и y той же формы и любого количества измерений.
Возвращает:	dzdx, dzdy : np.ma.array 2 маскированных массива той же формы, что и x и y; значения, соответствующие точкам (x, y) вне триангуляции, маскируются. Первый возвращённый массив содержит значения , а второй — значения .

class matplotlib.tri.TriRefiner(triangulation) [source]

Абстрактный базовый класс для классов, реализующих уточнение сетки.

TriRefiner инкапсулирует объект Triangulation и предоставляет инструменты для уточнения сетки и интерполяции.

Производные классы должны реализовать:

• refine_triangulation(return_tri_index=False, **kwargs) , где необязательные ключевые аргументы kwargs определены в каждой конкретной реализации TriRefiner, и которая возвращает:

  • уточнённую триангуляцию
  • необязательно (в зависимости от return_tri_index), для каждой точки уточнённой триангуляции: индекс треугольника исходной триангуляции, к которому она принадлежит.

• refine_field(z, triinterpolator=None, **kwargs) , где:

  • массив z значений поля (для уточнения), определённых в узлах исходной триангуляции
  • triinterpolator — TriInterpolator (необязательно)
  • другие необязательные ключевые аргументы kwargs определены в каждой конкретной реализации TriRefiner

  и которая возвращает (в качестве кортежа) уточнённую треугольную сетку и интерполированные значения поля в узлах уточнённой триангуляции.

class matplotlib.tri.UniformTriRefiner(triangulation) [source]

Базы: matplotlib.tri.trirefine.TriRefiner

Равномерное уточнение сетки путём рекурсивного деления.

Параметры:	triangulation : Triangulation Оборачиваемая триангуляция (для уточнения)

refine_field(z, triinterpolator=None, subdiv=3) [source]

Уточняет поле, определённое на оборачиваемой триангуляции.

Возвращает refi_tri (уточнённую триангуляцию), refi_z (интерполированные значения поля в узлах уточнённой триангуляции).

Параметры:

z : 1d-array-like of length n_points Значения поля для уточнения, определённые в узлах оборачиваемой триангуляции. (n_points — количество точек в исходной триангуляции) triinterpolator : TriInterpolator, optional Интерполятор, используемый для интерполяции поля. Если не указан, будет использован CubicTriInterpolator. subdiv : integer, optional Уровень рекурсии для деления. По умолчанию 3. Каждый треугольник будет разделён на 4**subdiv дочерних треугольников.

Возвращает:

refi_tri : Triangulation object Возвращённая уточнённая триангуляция refi_z : 1d array of length: refi_tri node count. Возвращённое интерполированное поле (в узлах refi_tri)

refine_triangulation(return_tri_index=False, subdiv=3) [source]

Вычисляет равномерно уточнённую триангуляцию refi_triangulation оборачиваемой triangulation.

Эта функция уточняет оборачиваемую триангуляцию, разбивая каждый исходный треугольник на 4 дочерних подтреугольника, построенных на средних точках сторон, рекурсивно (уровень рекурсии subdiv). В итоге каждый треугольник делится на 4**subdiv дочерних треугольников. Значение по умолчанию для subdiv равно 3, что приводит к 64 уточнённым подтреугольникам для каждого треугольника исходной триангуляции.

Параметры:	return_tri_index : boolean, optional Логическое значение, указывающее, будет ли возвращена таблица индексов, указывающая индекс родительского треугольника для каждой точки. Значение по умолчанию False. subdiv : integer, optional Уровень рекурсии для деления. По умолчанию 3. Каждый треугольник будет разделён на 4**subdiv дочерних треугольников.
Возвращает:	refi_triangulation : Triangulation Возвращённая уточнённая триангуляция found_index : array-like of integers Индекс исходной триангуляции, содержащей треугольник, для каждой точки refi_triangulation. Возвращается только если return_tri_index установлено в True.

class matplotlib.tri.TriAnalyzer(triangulation) [source]

Определяет базовые инструменты для анализа и улучшения триангулярных сеток.

Класс TriAnalizer оборачивает объект Triangulation и предоставляет базовые инструменты для анализа и улучшения сетки.

Параметры:	triangulation : Triangulation object Оборачиваемая триангуляция для анализа.
Атрибуты:	`scale_factors`

circle_ratios(rescale=True) [source]

Возвращает меру плоскогости треугольников триангуляции.

Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности — широко используемый показатель плоскогости треугольника. Оно всегда <= 0.5 и == 0.5 только для равносторонних треугольников. Значения отношения меньше 0,01 обозначают очень плоские треугольники.

Для предотвращения чрезмерно низких значений из-за разницы масштабов между осями, триангулярная сетка может быть предварительно масштабирована так, чтобы поместиться в квадрат с единичной стороной с помощью scale_factors (только если rescale равно True, что является его значением по умолчанию).

Параметры:	rescale : boolean, optional Если True, то будет выполнено внутреннее масштабирование (на основе scale_factors), чтобы (незамаскированные) треугольники точно поместились в сетку единичного квадрата. Значение по умолчанию True.
Возвращает:	circle_ratios : masked array Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности для каждого «масштабированного» треугольника оборачиваемой триангуляции. Значения, соответствующие замаскированным треугольникам, маскируются.

get_flat_tri_mask(min_circle_ratio=0.01, rescale=True) [source]

Удаляет чрезмерно плоские граничные треугольники из триангуляции.

Возвращает маску new_mask, позволяющую очистить оборачиваемую триангуляцию от расположенных на границе плоских треугольников (согласно их circle_ratios()). Эта маска предназначена для последующего применения к триангуляции с помощью matplotlib.tri.Triangulation.set_mask(). new_mask является расширением начальной маски триангуляции в том смысле, что начальный замаскированный треугольник остаётся замаскированным.

Массив new_mask вычисляется рекурсивно; на каждом шаге плоские треугольники удаляются только в том случае, если они имеют общую сторону с текущей границей сетки. Таким образом, не будет создаваться новых отверстий в триангулированной области.

Параметры:

min_circle_ratio : float, optional Треугольники границы с отношением радиусов вписанной/описанной окружности r/R будут удалены, если r/R < min_circle_ratio. Значение по умолчанию: 0,01 rescale : boolean, optional Если True, предварительно выполняется внутреннее масштабирование (на основе scale_factors), так что (незамаскированные) треугольники точно помещаются в сетку единичного квадрата. Это масштабирование учитывает возможную разницу в масштабе между осями. Значение по умолчанию (и рекомендуемое) — True.

Возвращает:

new_mask : array-like of booleans Маска для применения к оборачиваемой триангуляции. Все изначально замаскированные треугольники остаются замаскированными в new_mask.

Примечания

Логика этой функции заключается в том, что триангуляция Делоне — для неупорядоченного набора точек — иногда содержит почти плоские треугольники на границе, что приводит к артефактам на графиках (особенно при построении контуров высокой точности). Замаскированная с помощью вычисленной new_mask оборачиваемая триангуляция не будет содержать более незамаскированных граничных треугольников с отношением окружностей ниже min_circle_ratio, что улучшит качество сетки для последующих графиков или интерполяции.

scale_factors

Коэффициенты масштабирования триангуляции в единичный квадрат.

Возвращает k, пару коэффициентов масштабирования.

Возвращает:	k : tuple of 2 floats (kx, ky) Пара чисел с плавающей точкой, которые масштабируют триангуляцию: [triangulation.x * kx, triangulation.y * ky] точно помещается в единичный квадрат.