numpy.polynomial.polynomial.polyfit

numpy.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None) [source]

Наименьшие квадраты подгонки многочлена к данным.

Возвращает коэффициенты многочлена степени deg , являющегося наилучшей аппроксимацией по методу наименьших квадратов к значениям данных y , заданным в точках x. Если y является одномерным массивом, возвращаемые коэффициенты также будут одномерными. Если y является двумерным массивом, выполняется несколько подгонок, по одной для каждого столбца y, и полученные коэффициенты хранятся в соответствующих столбцах двумерного возвращаемого значения. Подгоняемый(ые) многочлен(ы) имеют вид

где n есть deg.

Параметры:	x : array_like, форма (M,) Координаты x выборочных (данных) точек M. y : array_like, форма (M,) или (M, K) Координаты y выборочных точек. Несколько наборов выборочных точек с одинаковыми координатами x могут быть (независимо) подгонены с помощью одного вызова polyfit , передав в качестве y двумерный массив, содержащий один набор данных в каждом столбце. deg : int Степень подгоняемого многочлена(ов). rcond : float, необязательно Относительное число обусловленности подгонки. Сингулярные значения, меньшие rcond, относительно наибольшего сингулярного значения, будут игнорироваться. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps - относительная точность плавающей точки платформы, примерно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, необязательно Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Когда False (значение по умолчанию), возвращаются только коэффициенты; когда True, возвращается также диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям (используемая для решения матричного уравнения подгонки). w : array_like, форма (M,), необязательно Веса. Если не None, вклад каждой точки (x[i],y[i]) в подгонку взвешивается значением w[i]. В идеале веса выбираются таким образом, чтобы ошибки произведений w[i]*y[i] имели одинаковую дисперсию. Значение по умолчанию равно None. Введен в версии 1.5.0.
Возвращает:	coef : ndarray, форма (deg + 1,) или (deg + 1, K) Коэффициенты многочлена в порядке возрастания степеней. Если y было двумерным, коэффициенты в столбце k из coef представляют собой многочлен, подгоняемый к данным в столбце y под номером k. [residuals, rank, singular_values, rcond] : список Эти значения возвращаются только если full = True resid – сумма квадратов остатков наименьших квадратов подгонки rank – числовой ранг масштабированной матрицы Вандермонда sv – сингулярные значения масштабированной матрицы Вандермонда rcond – значение rcond. Для получения дополнительной информации см. linalg.lstsq.
Возможные исключения:	RankWarning Вызывается, если матрица в наименьших квадратах подгонки имеет недостаточный ранг. Предупреждение вызывается только если full == False. Предупреждения могут быть отключены путем: >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', RankWarning)

См. также

chebfit, legfit, lagfit, hermfit, hermefit

polyval

Вычисляет значение многочлена.

polyvander

Матрица Вандермонда для степеней.

linalg.lstsq

Вычисляет наименьшие квадраты подгонки из матрицы.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет подгонку сплайнами.

Примечания

Решение является коэффициентами многочлена p , который минимизирует сумму взвешенных квадратов ошибок

где - веса. Эта задача решается путем задания (обычно) переопределенного матричного уравнения:

где V - взвешенная псевдоматрица Вандермонда из x, c - коэффициенты, которые нужно найти, w - веса, а y - наблюдаемые значения. Это уравнение затем решается с помощью разложения по сингулярным значениям V.

Если некоторые из сингулярных значений V настолько малы, что ими можно пренебречь (и full == False), будет выведено предупреждение RankWarning . Это означает, что значения коэффициентов могут быть плохо определены. Подгонка к многочлену меньшей степени обычно избавляет от предупреждения (но может не быть тем, что вам нужно; если у вас есть независимые причины для выбора степени, которая не работает, возможно, нужно: а) пересмотреть эти причины и/или б) пересмотреть качество ваших данных). Параметр rcond также можно установить на значение, меньшее, чем значение по умолчанию, но полученная подгонка может быть ложной и иметь большие вклады от округления.

Подгонки многочленов с двойной точностью, как правило, «не удается» примерно при степени 20. Подгонки с использованием рядов Чебышева или Лежандра, как правило, лучше обусловлены, но многое может зависеть от распределения выборочных точек и гладкости данных. Если качество подгонки недостаточно, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Примеры

>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1]
>>> y = x**3 - x + np.random.randn(len(x)) # x^3 - x + N(0,1) "noise"
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be approx. 0, c[1] approx. -1, c[3] approx. 1
array([ 0.01909725, -1.30598256, -0.00577963,  1.02644286])
>>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results
[array([ 38.06116253]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,  0.50443316,
0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]

То же самое без добавленного шума

>>> y = x**3 - x
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be "very close to 0", c[1] ~= -1, c[3] ~= 1
array([ -1.73362882e-17,  -1.00000000e+00,  -2.67471909e-16,
         1.00000000e+00])
>>> stats # note the minuscule SSR
[array([  7.46346754e-31]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,
0.50443316,  0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]