numpy.linalg.eig

numpy.linalg.eig(a) [source]

Вычисление собственных значений и правых собственных векторов квадратной матрицы.

Параметры:	a : (…, M, M) array Матрицы, для которых будут вычислены собственные значения и правые собственные векторы
Возвращает:	w : (…, M) array Собственные значения, каждое повторяется в соответствии со своей кратностью. Собственные значения не обязательно упорядочены. Результирующий массив будет комплексного типа, если мнимая часть равна нулю, то он будет преобразован в вещественный тип. Когда a вещественный, результирующие собственные значения будут вещественными (0 мнимая часть) или будут встречаться в сопряжённых парах v : (…, M, M) array Нормализованные (единичной «длины») собственные векторы, такие что столбец v[:,i] является собственным вектором, соответствующим собственному значению w[i].
Возбуждает:	LinAlgError Если вычисление собственных значений не сходится.

См. также

eigvals

собственные значения несимметричной матрицы.

eigh

собственные значения и собственные векторы вещественной симметричной или комплексной эрмитовой (сопряжённо-симметричной) матрицы.

eigvalsh

собственные значения вещественной симметричной или комплексной эрмитовой (сопряжённо-симметричной) матрицы.

Примечания

Введено в версии 1.8.0.

Применяются правила векторизации, см. документацию numpy.linalg для получения подробностей.

Это реализовано с помощью подпрограмм LAPACK _geev, которые вычисляют собственные значения и собственные векторы квадратных матриц общего вида.

Число w является собственным значением a , если существует вектор v такой, что dot(a,v) = w * v. Таким образом, массивы a, w, и v удовлетворяют уравнениям dot(a[:,:], v[:,i]) = w[i] * v[:,i] для .

Массив v собственных векторов может не иметь максимального ранга, то есть некоторые столбцы могут быть линейно зависимы, хотя погрешность округления может замаскировать этот факт. Если собственные значения все разные, то теоретически собственные векторы линейно независимы. Аналогично, (комплекснозначная) матрица собственных векторов v является унитарной, если матрица a является нормальной, т.е. если dot(a, a.H) = dot(a.H, a), где a.H обозначает сопряжённо-транспонированную матрицу a.

Наконец, следует подчеркнуть, что v состоит из правых (как в правой части) собственных векторов a. Вектор y удовлетворяющий dot(y.T, a) = z * y.T для некоторого числа z называется левым собственным вектором a, и, вообще говоря, левые и правые собственные векторы матрицы не обязательно являются (возможно, сопряжёнными) транспонированными друг друга.

Ссылки

Г. Странг, Линейная алгебра и её приложения, 2-е изд., Орландо, ФЛ, Academic Press, Inc., 1980, Различные страницы.

Примеры

>>> from numpy import linalg as LA

(Практически) тривиальный пример с вещественными собственными значениями и собственными векторами.

>>> w, v = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> w; v
array([ 1.,  2.,  3.])
array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.]])

Вещественная матрица, имеющая комплексные собственные значения и собственные векторы; обратите внимание, что собственные значения являются комплексно сопряжёнными друг другу.

>>> w, v = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> w; v
array([ 1. + 1.j,  1. - 1.j])
array([[ 0.70710678+0.j        ,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.00000000-0.70710678j,  0.00000000+0.70710678j]])

Комплекснозначная матрица с вещественными собственными значениями (но комплекснозначными собственными векторами); обратите внимание, что a.conj().T = a, т.е. a — эрмитова матрица.

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([  2.00000000e+00+0.j,   5.98651912e-36+0.j]) # i.e., {2, 0}
array([[ 0.00000000+0.70710678j,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.70710678+0.j        ,  0.00000000+0.70710678j]])

Будьте осторожны с погрешностью округления!

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. e-values are 1 +/- 1e-9
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([ 1.,  1.])
array([[ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.]])