numpy.polynomial.polynomial.polyfit

numpy.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None) [source]

Нахождение наилучшего приближения полинома к данным методом наименьших квадратов.

Возвращает коэффициенты полинома степени deg , который является наилучшей аппроксимацией по методу наименьших квадратов к значениям данных y в точках x. Если y одномерно, то возвращаемые коэффициенты также будут одномерными. Если y двумерно, то выполняется несколько аппроксимаций, по одной для каждого столбца y, и результирующие коэффициенты хранятся в соответствующих столбцах двумерного результата. Аппроксимирующий(ие) полином(ы) имеют вид

где n есть deg.

Параметры:	x : array_like, shape (M,) Координаты x точек выборки (данных) M. y : array_like, shape (M,) or (M, K) Координаты y точек выборки. Несколько наборов точек выборки, имеющих одинаковые координаты x, могут быть (независимо) аппроксимированы одним вызовом polyfit путём передачи в y двумерного массива, содержащего один набор данных в каждом столбце. deg : int or 1-D array_like Степень(и) аппроксимирующих полиномов. Если deg представляет собой целое число, то в аппроксимацию включаются все члены до и включая deg-й член. Для версий NumPy >= 1.11.0 вместо этого может использоваться список целых чисел, определяющих степени членов, которые нужно включить. rcond : float, optional Относительное число обусловленности аппроксимации. Сингулярные значения, меньшие rcond, по отношению к наибольшему сингулярному значению, будут игнорироваться. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps – относительная точность плавающей точки платформы, приблизительно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, optional Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Когда False (значение по умолчанию), возвращаются только коэффициенты; когда True, также возвращается диагностическая информация из сингулярного разложения (используемого для решения матричного уравнения аппроксимации). w : array_like, shape (M,), optional Веса. Если не равно None, вклад каждой точки (x[i],y[i]) в аппроксимацию взвешивается значением w[i]. В идеале веса выбираются таким образом, чтобы ошибки произведений w[i]*y[i] имели одинаковую дисперсию. Значение по умолчанию равно None. Введено в версии 1.5.0.
Возвращает:	coef : ndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K) Коэффициенты полинома, упорядоченные от низкой к высокой степени. Если y было двумерным, то коэффициенты в столбце k из coef представляют полиномиальное приближение к данным в y-ом столбце. [residuals, rank, singular_values, rcond] : list Эти значения возвращаются только если full = True resid – сумма квадратов остатков наилучшей аппроксимации методом наименьших квадратов rank – числовой ранг масштабированной матрицы Вандермонда sv – сингулярные значения масштабированной матрицы Вандермонда rcond – значение rcond. Для получения более подробной информации см. linalg.lstsq.
Возможные исключения:	RankWarning Выдается, если матрица в аппроксимации методом наименьших квадратов имеет недостаточный ранг. Предупреждение выдается только если full == False. Предупреждения можно отключить, используя: >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', RankWarning)

См. также

chebfit, legfit, lagfit, hermfit, hermefit

polyval

Вычисляет значение полинома.

polyvander

Матрица Вандермонда для степеней.

linalg.lstsq

Вычисляет приближение методом наименьших квадратов из матрицы.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет сплайн-аппроксимации.

Примечания

Решение — коэффициенты полинома p , которые минимизируют сумму взвешенных квадратов ошибок

где — веса. Эта задача решается путём построения (обычно) переопределённого матричного уравнения:

где V — взвешенная псевдо-матрица Вандермонда от x, c — коэффициенты, подлежащие определению, w — веса, и y — наблюдаемые значения. Это уравнение затем решается с помощью сингулярного разложения V.

Если некоторые сингулярные значения V настолько малы, что они игнорируются (и full == False), будет выведено предупреждение RankWarning. Это означает, что значения коэффициентов могут быть плохо определены. Аппроксимация с полиномом меньшей степени, как правило, избавит от предупреждения (но, возможно, не то, что вам нужно; если у вас есть независимая причина(ы) для выбора степени, которая не работает, вам, возможно, придется: а) пересмотреть эти причины и/или б) пересмотреть качество ваших данных). Параметр rcond также может быть установлен на значение, меньшее, чем по умолчанию, но полученное приближение может быть ложным и иметь большой вклад от погрешности округления.

Полиномиальные аппроксимации с двойной точностью, как правило, «выходят из строя» примерно на степени 20. Аппроксимации с помощью рядов Чебышева или Лежандра, как правило, более обусловлены, но многое по-прежнему может зависеть от распределения точек выборки и гладкости данных. Если качество аппроксимации неудовлетворительно, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Примеры

>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1]
>>> y = x**3 - x + np.random.randn(len(x)) # x^3 - x + N(0,1) "noise"
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be approx. 0, c[1] approx. -1, c[3] approx. 1
array([ 0.01909725, -1.30598256, -0.00577963,  1.02644286])
>>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results
[array([ 38.06116253]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,  0.50443316,
0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]

То же самое без добавленного шума

>>> y = x**3 - x
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be "very close to 0", c[1] ~= -1, c[3] ~= 1
array([ -1.73362882e-17,  -1.00000000e+00,  -2.67471909e-16,
         1.00000000e+00])
>>> stats # note the minuscule SSR
[array([  7.46346754e-31]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,
0.50443316,  0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]