numpy.linalg.svd

numpy.linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False) [source]

Разложение по сингулярным значениям.

Когда a является двумерным массивом, он разлагается как u @ np.diag(s) @ vh = (u * s) @ vh, где u и vh являются двумерными унитарными массивами, а s — одномерный массив сингулярных значений a. Когда a имеет более высокую размерность, SVD применяется в стобцевом режиме, как описано ниже.

Параметры:	a : (…, M, N) array_like Вещественный или комплексный массив с a.ndim >= 2. full_matrices : bool, optional Если True (по умолчанию), u и vh имеют формы (..., M, M) и (..., N, N) соответственно. В противном случае формы равны (..., M, K) и (..., K, N) соответственно, где K = min(M, N). compute_uv : bool, optional Вычислять ли u и vh дополнительно к s. По умолчанию True.
Возвращает:	u : { (…, M, M), (…, M, K) } array Унитарный массив(ы). Первые a.ndim - 2 размерности имеют тот же размер, что и входной a. Размер последних двух размерностей зависит от значения full_matrices. Возвращается только при compute_uv равно True. s : (…, K) array Вектор(ы) с сингулярными значениями, отсортированными в каждом векторе по убыванию. Первые a.ndim - 2 размерности имеют тот же размер, что и входной a. vh : { (…, N, N), (…, K, N) } array Унитарный массив(ы). Первые a.ndim - 2 размерности имеют тот же размер, что и входной a. Размер последних двух размерностей зависит от значения full_matrices. Возвращается только при compute_uv равно True. hermitian : bool, optional Если True, предполагается, что a является эрмитовым (симметричным, если вещественный), что позволяет использовать более эффективный метод для нахождения сингулярных значений. По умолчанию False. Новое в версии 1.17.0.
Возбуждает:	LinAlgError Если вычисление SVD не сходится.

Примечания

Изменено в версии 1.8.0: Применяются правила векторизации, см. документацию numpy.linalg для подробностей.

Разложение выполняется с помощью процедуры LAPACK _gesdd.

Обычно SVD описывается для разложения двумерной матрицы . В случае более высокой размерности SVD применяется в стобцевом режиме, как описано ниже. В двумерном случае SVD записывается как , где , , и . Одномерный массив s содержит сингулярные значения a, а u и vh являются унитарными. Строки vh являются собственными векторами , а столбцы u являются собственными векторами . В обоих случаях соответствующие (возможно, не нулевые) собственные значения задаются s**2.

Если a имеет более двух измерений, применяются правила векторизации, как описано в Линейная алгебра для нескольких матриц одновременно. Это означает, что SVD работает в «стобцевом» режиме: он итерируется по всем индексам первых a.ndim - 2 измерений, и для каждой комбинации применяется SVD к последним двум индексам. Матрица a может быть восстановлена из разложения с помощью либо (u * s[..., None, :]) @ vh, либо u @ (s[..., None] * vh). (Оператор @ может быть заменён функцией np.matmul для версий Python ниже 3.5.)

Если a является matrix объектом (в отличие от ndarray объекта), то таковыми являются и все возвращаемые значения.

Примеры

>>> a = np.random.randn(9, 6) + 1j*np.random.randn(9, 6)
>>> b = np.random.randn(2, 7, 8, 3) + 1j*np.random.randn(2, 7, 8, 3)

Восстановление на основе полного SVD, двумерный случай:

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=True)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((9, 9), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(u[:, :6] * s, vh))
True
>>> smat = np.zeros((9, 6), dtype=complex)
>>> smat[:6, :6] = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(u, np.dot(smat, vh)))
True

Восстановление на основе сокращенного SVD, двумерный случай:

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=False)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((9, 6), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(u * s, vh))
True
>>> smat = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(u, np.dot(smat, vh)))
True

Восстановление на основе полного SVD, четырёхмерный случай:

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=True)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((2, 7, 8, 8), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(u[..., :3] * s[..., None, :], vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(u[..., :3], s[..., None] * vh))
True

Восстановление на основе сокращенного SVD, четырёхмерный случай:

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=False)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((2, 7, 8, 3), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(u * s[..., None, :], vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(u, s[..., None] * vh))
True