numpy.polynomial.polynomial.polyfit

numpy.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None) [source]

Наименьшие квадраты подгонки полинома к данным.

Возвращает коэффициенты полинома степени deg , который является наименьшим квадратом подгонки к значениям данных y в точках x. Если y одномерный, возвращаемые коэффициенты также будут одномерными. Если y двумерный, выполняется несколько подгонок, по одной для каждого столбца y, и полученные коэффициенты хранятся в соответствующих столбцах возвращаемой двумерной матрицы. Подгоняемый полином(ы) имеют вид

где n равно deg.

Параметры:	x : array_like, shape (M,) Координаты x выборочных (данных) точек M (x[i], y[i]). y : array_like, shape (M,) or (M, K) Координаты y выборочных точек. Несколько наборов выборочных точек с одинаковыми координатами x могут быть (независимо) подогнаны с помощью одного вызова polyfit путем передачи в y двумерного массива, содержащего по одному набору данных в каждом столбце. deg : int or 1-D array_like Степень(и) подгоняемых полиномов. Если deg — целое число, в подгонку включаются все члены до и включая deg-й член. Для версий NumPy >= 1.11.0 может использоваться список целых чисел, указывающих степени членов, которые следует включить. rcond : float, optional Относительное число обусловленности подгонки. Сингулярные значения, меньшие rcond, относительно наибольшего сингулярного значения, будут игнорироваться. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps — относительная точность плавающей точки платформы, примерно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, optional Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Когда False (значение по умолчанию), возвращаются только коэффициенты; когда True, также возвращается диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям (используемой для решения матричного уравнения подгонки). w : array_like, shape (M,), optional Веса. Если не равно None, вклад каждой точки (x[i],y[i]) в подгонку взвешивается с помощью w[i]. В идеале веса выбираются таким образом, чтобы ошибки произведений w[i]*y[i] имели одинаковую дисперсию. Значение по умолчанию равно None. Введено в версии 1.5.0.
Возвращает:	coef : ndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K) Коэффициенты полинома, упорядоченные от низших к высшим. Если y было двумерным, коэффициенты в столбце k из coef представляют полиномиальную подгонку к данным в y-м столбце. [residuals, rank, singular_values, rcond] : list Эти значения возвращаются только если full = True resid – сумма квадратов остатков наименьших квадратов подгонки rank – числовой ранг отмасштабированной матрицы Вандермонда sv – сингулярные значения отмасштабированной матрицы Вандермонда rcond – значение rcond. Для получения дополнительной информации см. linalg.lstsq.
Исключения:	RankWarning Выдается, если матрица в подгонке наименьших квадратов имеет недостаточное число рангов. Предупреждение выдается только если full == False. Предупреждения можно отключить, используя: >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

См. также

chebfit, legfit, lagfit, hermfit, hermefit

polyval

Вычисляет значение полинома.

polyvander

Матрица Вандермонда для степеней.

linalg.lstsq

Вычисляет подгонку наименьших квадратов из матрицы.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет подгонку сплайнами.

Примечания

Решение — коэффициенты полинома p , минимизирующие сумму взвешенных квадратов ошибок

где — веса. Эта задача решается путем составления (как правило) переопределенного матричного уравнения:

где V — взвешенная псевдо-матрица Вандермонда от x, c — искомые коэффициенты, w — веса, а y — наблюдаемые значения. Это уравнение затем решается с использованием разложения по сингулярным значениям V.

Если некоторые сингулярные значения V настолько малы, что они пренебрежимы (и full == False), будет выдано предупреждение RankWarning. Это означает, что значения коэффициентов могут быть плохо определены. Подгонка к полиному более низкой степени обычно устранит предупреждение (но может и не быть тем, что вам нужно; если у вас есть независимые причины выбора степени, которая не работает, вам, возможно, придется: а) пересмотреть эти причины и/или б) пересмотреть качество ваших данных). Параметр rcond также можно установить на значение, меньшее, чем по умолчанию, но полученная подгонка может быть ошибочной и иметь значительные вклады от ошибок округления.

Полиномиальные подгонки с двойной точностью, как правило, «не работают» примерно со степенью 20. Подгонки с использованием рядов Чебышева или Лежандра, как правило, лучше обусловлены, но многое может зависеть от распределения выборочных точек и гладкости данных. Если качество подгонки недостаточно, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Примеры

>>> np.random.seed(123)
>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1]
>>> y = x**3 - x + np.random.randn(len(x)) # x^3 - x + N(0,1) "noise"
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> np.random.seed(123)
>>> c # c[0], c[2] should be approx. 0, c[1] approx. -1, c[3] approx. 1
array([ 0.01909725, -1.30598256, -0.00577963,  1.02644286]) # may vary
>>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results
 [array([ 38.06116253]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,  0.50443316, # may vary
          0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]

То же самое без добавленного шума

>>> y = x**3 - x
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be "very close to 0", c[1] ~= -1, c[3] ~= 1
array([-6.36925336e-18, -1.00000000e+00, -4.08053781e-16,  1.00000000e+00])
>>> stats # note the minuscule SSR
[array([  7.46346754e-31]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158, # may vary
           0.50443316,  0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]