numpy.linalg.qr

numpy.linalg.qr(a, mode='reduced') [source]

Вычисление QR-факторизации матрицы.

Разложить матрицу a как qr, где q является ортогональной, а r — верхнетреугольной.

Параметры

aarray_like, shape (M, N)

Матрица, подлежащая разложению.

mode{‘reduced’, ‘complete’, ‘r’, ‘raw’}, optional

Если K = min(M, N), то

• ‘reduced’ : возвращает q, r с размерами (M, K), (K, N) (по умолчанию)
• ‘complete’ : возвращает q, r с размерами (M, M), (M, N)
• ‘r’ : возвращает только r с размерами (K, N)
• ‘raw’ : возвращает h, tau с размерами (N, M), (K,)

Опции ‘reduced’, ‘complete’ и ‘raw’ являются новыми в numpy 1.8, см. примечания для дополнительной информации. По умолчанию используется ‘reduced’, и для сохранения обратной совместимости со старыми версиями numpy как она, так и предыдущее значение по умолчанию ‘full’ могут быть опущены. Обратите внимание, что массив h, возвращаемый в режиме ‘raw’, транспонируется для вызова Fortran. Режим ‘economic’ устарел. Режимы ‘full’ и ‘economic’ могут передаваться, используя только первую букву для обратной совместимости, но все остальные должны быть написаны полностью. См. Примечания для более подробного объяснения.

Возвращает

qndarray of float or complex, optional

Матрица с ортогональными столбцами. Когда mode = ‘complete’, результат представляет собой ортогональную/унитарную матрицу в зависимости от того, вещественна или комплексна матрица a. Определитель в этом случае может быть равен +/- 1.

rndarray of float or complex, optional

Верхнетреугольная матрица.

(h, tau)ndarrays of np.double or np.cdouble, optional

Массив h содержит отражатели Хаусхолдера, которые генерируют q вместе с r. Массив tau содержит масштабные множители для отражателей. В устаревшем режиме ‘economic’ возвращается только h.

Возбуждает

LinAlgError

Если разложение не выполняется.

Примечания

Это интерфейс к функциям LAPACK dgeqrf, zgeqrf, dorgqr, и zungqr.

Для получения дополнительной информации о QR-факторизации см., например: https://en.wikipedia.org/wiki/QR_factorization

Подклассы ndarray сохраняются, за исключением режима ‘raw’. Таким образом, если a имеет тип matrix, все возвращаемые значения также будут матрицами.

Новые опции ‘reduced’, ‘complete’ и ‘raw’ для режима были добавлены в NumPy 1.8.0, а старая опция ‘full’ была сделана псевдонимом ‘reduced’. Кроме того, опции ‘full’ и ‘economic’ устарели. Поскольку ‘full’ была предыдущей опцией по умолчанию, а ‘reduced’ — новой, обратная совместимость может быть сохранена, если mode по умолчанию.

Опция ‘raw’ была добавлена для того, чтобы можно было использовать функции LAPACK, которые могут умножать массивы на q с помощью отражателей Хаусхолдера. Обратите внимание, что в этом случае возвращаемые массивы имеют тип np.double или np.cdouble, а массив h транспонируется для совместимости с Fortran. В настоящее время numpy не предоставляет никаких функций, использующих возвращаемое значение ‘raw’, но некоторые доступны в lapack_lite и просто ждут необходимой работы.

Примеры

>>> a = np.random.randn(9, 6)
>>> q, r = np.linalg.qr(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(q, r))  # a does equal qr
True
>>> r2 = np.linalg.qr(a, mode='r')
>>> np.allclose(r, r2)  # mode='r' returns the same r as mode='full'
True

Пример, иллюстрирующий общее использование qr: решение задач наименьших квадратов

Какие значения m и y0 в y = y0 + mx наилучшим образом удовлетворяют следующие данные: {(0,1), (1,0), (1,2), (2,1)}. (Нарисуйте точки, и вы увидите, что это должно быть y0 = 0, m = 1.) Ответ получен путем решения переопределенного матричного уравнения Ax = b, где:

A = array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
x = array([[y0], [m]])
b = array([[1], [0], [2], [1]])

Если A = qr, где q является ортогональной (что всегда возможно с помощью метода Грама-Шмидта), то x = inv(r) * (q.T) * b. (Однако на практике в numpy мы просто используем lstsq.)

>>> A = np.array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
>>> A
array([[0, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [2, 1]])
>>> b = np.array([1, 0, 2, 1])
>>> q, r = np.linalg.qr(A)
>>> p = np.dot(q.T, b)
>>> np.dot(np.linalg.inv(r), p)
array([  1.1e-16,   1.0e+00])