numpy.linalg.norm

linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)[source]

Матричная или векторная норма.

Эта функция может возвращать одну из восьми различных матричных норм или одну из бесконечного числа векторных норм (описанных ниже), в зависимости от значения параметра ord.

Параметры

xarray_like

Входной массив. Если axis равно None, x должен быть одномерным или двумерным, если ord не равно None. Если и axis, и ord равны None, будет возвращена 2-норма x.ravel.

ord{non-zero int, inf, -inf, ‘fro’, ‘nuc’}, optional

Порядок нормы (см. таблицу под Notes). inf означает объект inf в numpy. По умолчанию равно None.

axis{None, int, 2-tuple of ints}, optional.

Если axis является целым числом, оно указывает ось x, по которой вычисляются векторные нормы. Если axis является 2-кортежем, он указывает оси, которые содержат 2-мерные матрицы, и вычисляются матричные нормы этих матриц. Если axis равно None, то возвращается либо векторная норма (когда x одномерный), либо матричная норма (когда x двумерный). По умолчанию равно None.

Добавлена в версии 1.8.0.

keepdimsbool, optional

Если установлено в True, оси, по которым выполняются вычисления норм, остаются в результате в качестве измерений с размером один. С этим параметром результат правильно транслируется относительно исходного x.

Добавлена в версии 1.10.0.

Возвращает

nfloat или ndarray

Норма матрицы или вектора(ов).

См. также

scipy.linalg.norm

Аналогичная функция в SciPy.

Примечания

Для значений ord < 1, результат, строго говоря, не является математической «нормой», но он может по-прежнему быть полезным для различных численных целей.

Можно вычислить следующие нормы:

ord	норма для матриц	норма для векторов
None	Норма Фробениуса	2-норма
‘fro’	Норма Фробениуса	–
‘nuc’	Ядерная норма	–
inf	max(sum(abs(x), axis=1))	max(abs(x))
-inf	min(sum(abs(x), axis=1))	min(abs(x))
0	–	sum(x != 0)
1	max(sum(abs(x), axis=0))	как ниже
-1	min(sum(abs(x), axis=0))	как ниже
2	2-норма (наибольшее сингулярное значение)	как ниже
-2	наименьшее сингулярное значение	как ниже
other	–	sum(abs(x)**ord)**(1./ord)

Норма Фробениуса задаётся выражением [1]:

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

Ядерная норма — это сумма сингулярных значений.

Как нормы Фробениуса, так и ядерной нормы определены только для матриц и вызывают исключение ValueError при x.ndim != 2.

Ссылки

1

G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations, Baltimore, MD, Johns Hopkins University Press, 1985, стр. 15

Примеры

>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.arange(9) - 4
>>> a
array([-4, -3, -2, ...,  2,  3,  4])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4, -3, -2],
       [-1,  0,  1],
       [ 2,  3,  4]])

>>> LA.norm(a)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> LA.norm(a, np.inf)
4.0
>>> LA.norm(b, np.inf)
9.0
>>> LA.norm(a, -np.inf)
0.0
>>> LA.norm(b, -np.inf)
2.0

>>> LA.norm(a, 1)
20.0
>>> LA.norm(b, 1)
7.0
>>> LA.norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> LA.norm(b, -1)
6.0
>>> LA.norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> LA.norm(a, -2)
0.0
>>> LA.norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016 # may vary
>>> LA.norm(a, 3)
5.8480354764257312 # may vary
>>> LA.norm(a, -3)
0.0

Использование аргумента axis для вычисления векторных норм:

>>> c = np.array([[ 1, 2, 3],
...               [-1, 1, 4]])
>>> LA.norm(c, axis=0)
array([ 1.41421356,  2.23606798,  5.        ])
>>> LA.norm(c, axis=1)
array([ 3.74165739,  4.24264069])
>>> LA.norm(c, ord=1, axis=1)
array([ 6.,  6.])

Использование аргумента axis для вычисления матричных норм:

>>> m = np.arange(8).reshape(2,2,2)
>>> LA.norm(m, axis=(1,2))
array([  3.74165739,  11.22497216])
>>> LA.norm(m[0, :, :]), LA.norm(m[1, :, :])
(3.7416573867739413, 11.224972160321824)