numpy.random.Generator.multivariate_normal

метод

random.Generator.multivariate_normal(mean, cov, size=None, check_valid='warn', tol=1e-8, *, method='svd')

Генерация случайных выборок из многомерного нормального распределения.

Многомерное нормальное, или гауссово распределение, является обобщением одномерного нормального распределения на многомерный случай. Такое распределение определяется своим средним значением и матрицей ковариации. Эти параметры аналогичны среднему (среднему или «центру») и дисперсии (стандартному отклонению, или «ширине», в квадрате) одномерного нормального распределения.

Параметры

meanОдномерный массив_like длины N

Среднее многомерного распределения.

covДвумерный массив_like формы (N, N)

Матрица ковариации распределения. Она должна быть симметричной и положительно определенной для корректной генерации выборок.

sizeЦелое число или кортеж целых чисел, необязательно

Если задана форма, например, (m,n,k), то генерируется m*n*k выборок, упакованных в m-мерный массив размером n-на-k. Поскольку каждая выборка имеет N размерность, итоговая форма будет (m,n,k,N). Если форма не задана, возвращается одна выборка (N-мерная).

check_valid{ ‘warn’, ‘raise’, ‘ignore’ }, необязательно

Поведение при невыполнении условия положительной определенности матрицы ковариации.

tolВещественное число, необязательно

Пороговое значение при проверке сингулярных значений в матрице ковариации. Матрица cov преобразуется к типу double перед проверкой.

method{ ‘svd’, ‘eigh’, ‘cholesky’}, необязательно

Ввод cov используется для вычисления матрицы-фактора A, такой что A @ A.T = cov. Этот аргумент используется для выбора метода вычисления матрицы-фактора A. По умолчанию метод ‘svd’ самый медленный, а ‘cholesky’ самый быстрый, но менее устойчивый, чем самый медленный. Метод eigh использует разложение по собственным значениям для вычисления A и быстрее, чем svd, но медленнее, чем cholesky.

Доступно начиная с версии 1.18.0.

Возвращаемое значение

outndarray

Сгенерированные выборки, с формой size, если она была задана. В противном случае форма (N,).

Другими словами, каждый элемент out[i,j,...,:] представляет собой N-мерное значение, сгенерированное из распределения.

Примечания

Среднее значение — это координата в N-мерном пространстве, которая указывает на область, где выборки наиболее вероятны. Это аналогично пику кривой Гаусса для одномерного нормального распределения.

Ковариация показывает степень, в которой две переменные изменяются вместе. Из многомерного нормального распределения мы получаем N-мерные выборки, \(X = [x_1, x_2, ... x_N]\). Элемент матрицы ковариации \(C_{ij}\) — это ковариация \(x_i\) и \(x_j\). Элемент \(C_{ii}\) — это дисперсия \(x_i\) (т.е. её «разброс»).

Вместо указания полной матрицы ковариации, часто используются такие приближения:

• Сферическая ковариация (cov — кратная единичной матрице)
• Диагональная ковариация (cov имеет неотрицательные элементы, только на диагонали)

Эта геометрическая особенность может быть проиллюстрирована в двух измерениях, нарисовав точки, сгенерированные из распределения:

>>> mean = [0, 0]
>>> cov = [[1, 0], [0, 100]]  # diagonal covariance

Диагональная ковариация означает, что точки ориентированы вдоль осей x или y:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x, y = np.random.default_rng().multivariate_normal(mean, cov, 5000).T
>>> plt.plot(x, y, 'x')
>>> plt.axis('equal')
>>> plt.show()

Обратите внимание, что матрица ковариации должна быть положительно полуопределенной (также называется неотрицательно определенной). В противном случае поведение этого метода неопределенно, и обратная совместимость не гарантируется.

Ссылки

1

Papoulis, A., “Probability, Random Variables, and Stochastic Processes,” 3rd ed., New York: McGraw-Hill, 1991.

2

Duda, R. O., Hart, P. E., and Stork, D. G., “Pattern Classification,” 2nd ed., New York: Wiley, 2001.

Примеры

>>> mean = (1, 2)
>>> cov = [[1, 0], [0, 1]]
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3))
>>> x.shape
(3, 3, 2)

Можно использовать другой метод, кроме по умолчанию для факторизации cov: >>> y = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3), method=’cholesky’) >>> y.shape (3, 3, 2)

Вероятно, выполняется следующее условие, учитывая, что 0.6 примерно вдвое превышает стандартное отклонение:

>>> list((x[0,0,:] - mean) < 0.6)
[True, True] # random