numpy.random.Generator.standard_t

метод

random.Generator.standard_t(df, size=None)

Генерирует выборку из стандартного распределения Стьюдента с df степенями свободы.

Частный случай гиперболического распределения. По мере увеличения df, результат приближается к стандартному нормальному распределению (standard_normal).

Параметры

dffloat или array_like с плавающей точкой

Степени свободы, должны быть > 0.

sizeint или кортеж из целых чисел, необязательно

Форма выходных данных. Если заданная форма, например, (m, n, k), то генерируется m * n * k выборок. Если размер равен None (по умолчанию), возвращается одно значение, если df является скаляром. В противном случае генерируется np.array(df).size выборок.

Возвращаемые значения

outndarray или скаляр

Сгенерированные выборки из стандартного распределения Стьюдента с заданными параметрами.

Примечания

Плотность вероятности для распределения Стьюдента:

\[P(x, df) = \frac{\Gamma(\frac{df+1}{2})}{\sqrt{\pi df} \Gamma(\frac{df}{2})}\Bigl( 1+\frac{x^2}{df} \Bigr)^{-(df+1)/2}\]

t-критерий основан на предположении, что данные получены из нормального распределения. t-критерий позволяет проверить, является ли выборочное среднее (среднее, вычисленное из данных) хорошей оценкой истинного среднего значения.

Вычисление t-распределения было впервые опубликовано в 1908 году Уильямом Госсетом, работавшим в пивоваренной компании Guinness в Дублине. Из-за вопросов интеллектуальной собственности ему пришлось публиковаться под псевдонимом, и поэтому он использовал имя Стьюдент.

Ссылки

1

Dalgaard, Peter, «Введение в статистику с R», Springer, 2002.

2

Википедия, «Распределение Стьюдента» https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Стьюдента

Примеры

Из работы Dalgaard, стр. 83 [1], предположим, что суточный энергетический рацион 11 женщин в килоджоулях (кДж) составляет:

>>> intake = np.array([5260., 5470, 5640, 6180, 6390, 6515, 6805, 7515, \
...                    7515, 8230, 8770])

Отклоняется ли их энергетический рацион систематически от рекомендуемого значения в 7725 кДж? Наша нулевая гипотеза будет отсутствием отклонения, а альтернативная гипотеза – наличием эффекта, который может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому наш тест будет двусторонним.

Поскольку мы оцениваем среднее значение, и у нас есть N=11 значений в нашей выборке, у нас есть N-1=10 степеней свободы. Мы устанавливаем свой уровень значимости на 95% и вычисляем t-статистику, используя эмпирическое среднее и эмпирическое стандартное отклонение нашего рациона. Мы используем ddof 1, чтобы вычислить эмпирическое стандартное отклонение, основываясь на несмещенной оценке дисперсии (примечание: окончательная оценка не является несмещенной из-за вогнутой природы квадратного корня).

>>> np.mean(intake)
6753.636363636364
>>> intake.std(ddof=1)
1142.1232221373727
>>> t = (np.mean(intake)-7725)/(intake.std(ddof=1)/np.sqrt(len(intake)))
>>> t
-2.8207540608310198

Мы генерируем 1000000 выборок из распределения Стьюдента с соответствующими степенями свободы.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> s = np.random.default_rng().standard_t(10, size=1000000)
>>> h = plt.hist(s, bins=100, density=True)

Попадает ли наша t-статистика в одну из двух критических областей, найденных на обоих хвостах распределения?

>>> np.sum(np.abs(t) < np.abs(s)) / float(len(s))
0.018318  #random < 0.05, statistic is in critical region

Значение вероятности для этого двустороннего теста составляет около 1,83%, что меньше предварительно установленного порога значимости в 5%.

Следовательно, вероятность наблюдения значений, столь же экстремальных, как наш рацион, при условии, что нулевая гипотеза верна, слишком низка, и мы отвергаем нулевую гипотезу об отсутствии отклонения.