Использование удобных классов

Удобные классы, предоставляемые пакетом полиномов:

Ряды в данном контексте представляют собой конечные суммы соответствующих полиномиальных базисных функций, умноженных на коэффициенты. Например, ряд Тейлора выглядит так:

и имеет коэффициенты \([1, 2, 3]\). Ряд Чебышева с теми же коэффициентами выглядит так:

и более общим образом:

где в данном случае \(T_n\) — функции Чебышева степени \(n\), но могли бы быть базисными функциями любого из других классов. Соглашение для всех классов состоит в том, что коэффициент \(c[i]\) относится к базисной функции степени i.

Все классы являются неизменяемыми и имеют одинаковые методы, а особенно они реализуют числовые операторы Python +, -, *, //, %, divmod, **, == и !=. Последние два могут быть немного проблематичными из-за ошибок округления с плавающей точкой. Сейчас мы быстро продемонстрируем различные операции, используя NumPy версии 1.7.0.

Основы

Сначала нам нужен класс полинома и экземпляр полинома для работы. Классы можно импортировать непосредственно из пакета полиномов или из модуля соответствующего типа. Здесь мы импортируем из пакета и используем обычный класс Polynomial из-за его знакомости:

>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([1,2,3])
>>> p
Polynomial([1., 2., 3.], domain=[-1,  1], window=[-1,  1])

Обратите внимание, что в длинной версии вывода есть три части. Первая — это коэффициенты, вторая — область определения, а третья — окно:

>>> p.coef
array([ 1.,  2.,  3.])
>>> p.domain
array([-1.,  1.])
>>> p.window
array([-1.,  1.])

Вывод полинома дает выражение полинома в более привычном формате:

>>> print(p)
1.0 + 2.0·x¹ + 3.0·x²

Обратите внимание, что строковое представление полиномов по умолчанию использует символы Unicode (за исключением Windows), чтобы выразить степени и индексы. Также доступно представление на основе ASCII (по умолчанию в Windows). Формат строки полинома может быть переключен на уровне пакета с помощью функции set_default_printstyle:

>>> numpy.polynomial.set_default_printstyle('ascii')
>>> print(p)
1.0 + 2.0 x**1 + 3.0 x**2

или контролироваться для отдельных экземпляров полиномов с форматированием строк:

>>> print(f"{p:unicode}")
1.0 + 2.0·x¹ + 3.0·x²

Мы будем иметь дело с областью определения и окном, когда доберемся до подгонки, пока что мы их игнорируем и пройдемся по основным алгебраическим и арифметическим операциям.

Сложение и вычитание:

>>> p + p
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> p - p
Polynomial([0.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Умножение:

>>> p * p
Polynomial([ 1.,   4.,  10.,  12.,   9.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Степень:

>>> p**2
Polynomial([ 1.,   4., 10., 12.,  9.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Деление:

Оператор целочисленного деления ‘//’ — это оператор деления для классов полиномов, полиномы в этом отношении рассматриваются как целые числа. Для версий Python < 3.x оператор ‘/’ отображается на ‘//’, как и в Python, для более поздних версий оператор ‘/’ будет работать только для деления на скаляры. В какой-то момент он будет устаревшим:

>>> p // P([-1, 1])
Polynomial([5.,  3.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Остаток:

>>> p % P([-1, 1])
Polynomial([6.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Divmod:

>>> quo, rem = divmod(p, P([-1, 1]))
>>> quo
Polynomial([5.,  3.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> rem
Polynomial([6.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Вычисление:

>>> x = np.arange(5)
>>> p(x)
array([  1.,   6.,  17.,  34.,  57.])
>>> x = np.arange(6).reshape(3,2)
>>> p(x)
array([[  1.,   6.],
       [ 17.,  34.],
       [ 57.,  86.]])

Подстановка:

Подставьте полином вместо x и разверните результат. Здесь мы подставляем p в себя, что приводит к новому полиному степени 4 после развёртывания. Если полиномы рассматриваются как функции, это композиция функций:

>>> p(p)
Polynomial([ 6., 16., 36., 36., 27.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Корни:

>>> p.roots()
array([-0.33333333-0.47140452j, -0.33333333+0.47140452j])

Не всегда удобно явно использовать экземпляры Polynomial, поэтому кортежи, списки, массивы и скаляры автоматически преобразуются в арифметических операциях:

>>> p + [1, 2, 3]
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> [1, 2, 3] * p
Polynomial([ 1.,  4., 10., 12.,  9.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> p / 2
Polynomial([0.5, 1. , 1.5], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Полиномы, которые отличаются по области определения, окну или классу, не могут быть смешаны в арифметических операциях:

>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p + P([1], domain=[0,1])
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<string>", line 213, in __add__
TypeError: Domains differ
>>> p + P([1], window=[0,1])
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<string>", line 215, in __add__
TypeError: Windows differ
>>> p + T([1])
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<string>", line 211, in __add__
TypeError: Polynomial types differ

Но разные типы могут быть использованы для подстановки. Фактически, именно так происходит преобразование классов Polynomial друг в друга для преобразования типа, области определения и окна:

>>> p(T([0, 1]))
Chebyshev([2.5, 2. , 1.5], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Что дает полином p в форме Чебышева. Это работает, потому что \(T_1(x) = x\), и подстановка \(x\) вместо \(x\) не изменяет исходный полином. Однако все умножения и деления будут выполняться с использованием ряда Чебышева, следовательно, тип результата.

Предполагается, что все экземпляры полиномов являются неизменяемыми, поэтому расширенные операции (+=, -=, и т.д.) и любая другая функциональность, которая нарушала бы неизменяемость экземпляра полинома, намеренно не реализована.

Вычисления

Экземпляры полиномов могут быть интегрированы и дифференцированы:

>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([2, 6])
>>> p.integ()
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> p.integ(2)
Polynomial([0., 0., 1., 1.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Первый пример интегрирует p один раз, второй пример интегрирует его дважды. По умолчанию нижняя граница интегрирования и постоянная интегрирования равны 0, но оба могут быть указаны:

>>> p.integ(lbnd=-1)
Polynomial([-1.,  2.,  3.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> p.integ(lbnd=-1, k=1)
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

В первом случае нижняя граница интегрирования установлена в -1, а постоянная интегрирования равна 0. Во втором случае постоянная интегрирования также установлена в 1. Дифференцирование проще, так как единственный параметр — количество раз, которое полином дифференцируется:

>>> p = P([1, 2, 3])
>>> p.deriv(1)
Polynomial([2., 6.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> p.deriv(2)
Polynomial([6.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Другие конструкторы полиномов

Создание полиномов путем указания коэффициентов — всего лишь один способ получения экземпляра полинома; их также можно создать, указав корни, путем преобразования из других типов полиномов и путем наименьших квадратов.

Подгонка обсуждается в отдельном разделе, другие методы продемонстрированы ниже:

>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p = P.fromroots([1, 2, 3])
>>> p
Polynomial([-6., 11., -6.,  1.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> p.convert(kind=T)
Chebyshev([-9.  , 11.75, -3.  ,  0.25], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Метод convert также может преобразовывать область определения и окно:

>>> p.convert(kind=T, domain=[0, 1])
Chebyshev([-2.4375 ,  2.96875, -0.5625 ,  0.03125], domain=[0.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> p.convert(kind=P, domain=[0, 1])
Polynomial([-1.875,  2.875, -1.125,  0.125], domain=[0.,  1.], window=[-1.,  1.])

В версиях numpy >= 1.7.0 также доступны методы basis и cast. Метод cast работает как метод convert, а метод basis возвращает базисный полином заданной степени:

>>> P.basis(3)
Polynomial([0., 0., 0., 1.], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])
>>> T.cast(p)
Chebyshev([-9.  , 11.75, -3. ,  0.25], domain=[-1.,  1.], window=[-1.,  1.])

Преобразования между типами могут быть полезными, но для рутинного использования не рекомендуются. Потеря точности чисел при переходе от ряда Чебышева степени 50 к ряду Polynomial той же степени может привести к тому, что результаты численного вычисления будут практически случайными.

Подгонка

Подгонка — вот почему атрибуты domain и window являются частью удобных классов.

Чтобы проиллюстрировать проблему, ниже приведены графики значений полиномов Чебышева до степени 5.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-1, 1, 100)
>>> for i in range(6):
...     ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="upper left")
<matplotlib.legend.Legend object at 0x3b3ee10>
>>> plt.show()

В диапазоне -1 <= x <= 1 они являются хорошими, равнопеременными функциями, лежащими между +/- 1. Те же графики в диапазоне -2 <= x <= 2 выглядят совершенно иначе:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-2, 2, 100)
>>> for i in range(6):
...     ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="lower right")
<matplotlib.legend.Legend object at 0x3b3ee10>
>>> plt.show()

Как видно, «хорошие» части стали незначительными. При использовании полиномов Чебышева для подгонки мы хотим использовать область, где x находится между -1 и 1, и именно это определяет window. Однако маловероятно, что данные, подлежащие подгонке, имеют все точки данных в этом интервале, поэтому мы используем domain для указания интервала, в котором лежат точки данных. При выполнении подгонки область определения сначала отображается на окно с помощью линейного преобразования, а обычная подгонка наименьших квадратов выполняется с использованием отображенных точек данных. Окно и область определения подгонки являются частью возвращаемого ряда и автоматически используются при вычислении значений, производных и т.п. Если они не указаны в вызове, процедура подгонки будет использовать окно по умолчанию и наименьшую область определения, которая содержит все точки данных. Это проиллюстрировано ниже для подгонки к шумовой синусоиде.

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> np.random.seed(11)
>>> x = np.linspace(0, 2*np.pi, 20)
>>> y = np.sin(x) + np.random.normal(scale=.1, size=x.shape)
>>> p = T.fit(x, y, 5)
>>> plt.plot(x, y, 'o')
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x2136c10>]
>>> xx, yy = p.linspace()
>>> plt.plot(xx, yy, lw=2)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x1cf2890>]
>>> p.domain
array([ 0.        ,  6.28318531])
>>> p.window
array([-1.,  1.])
>>> plt.show()