numpy.gradient

numpy.gradient(f, *varargs, axis=None, edge_order=1)[source]

Возвращает градиент N-мерного массива.

Градиент вычисляется с использованием центральных разностей второго порядка во внутренних точках и либо разностей первого или второго порядка (вперед или назад) на границах. Полученный градиент имеет ту же форму, что и входной массив.

Параметры:

farray_like

N-мерный массив, содержащий образцы скалярной функции.

varargsсписок скаляров или массивов, необязательно

Интервал между значениями f. По умолчанию единичный интервал для всех измерений. Интервал может быть указан с помощью:

1. одиночного скаляра для указания расстояния между образцами для всех измерений.
2. N скаляров для указания постоянного расстояния между образцами для каждого измерения. Например, dx, dy, dz, …
3. N массивов для указания координат значений вдоль каждого измерения F. Длина массива должна соответствовать размеру соответствующего измерения
4. Любое сочетание N скаляров/массивов со значением 2. и 3.

Если axis задано, количество varargs должно равняться количеству осей. По умолчанию: 1.

edge_order{1, 2}, необязательно

Градиент вычисляется с использованием разностей N-го порядка на границах. По умолчанию: 1.

Введено в версии 1.9.1.

axisNone или int или кортеж из целых чисел, необязательно

Градиент вычисляется только по заданной оси или осям. По умолчанию (axis = None) вычисляется градиент по всем осям входного массива. axis может быть отрицательным, в этом случае он отсчитывается от последней до первой оси.

Введено в версии 1.11.0.

Возвращаемое значение:

gradientndarray или список ndarray

Список ndarray (или один ndarray, если есть только одно измерение), соответствующий производным f по каждому измерению. Каждая производная имеет ту же форму, что и f.

Примечания

Предполагая, что \(f\in C^{3}\) (т.е., \(f\) имеет по крайней мере 3 непрерывные производные) и пусть \(h_{*}\) будет неоднородным шагом, мы минимизируем «ошибку согласованности» \(\eta_{i}\) между истинным градиентом и его оценкой из линейной комбинации соседних точек сетки:

\[\eta_{i} = f_{i}^{\left(1\right)} - \left[ \alpha f\left(x_{i}\right) + \beta f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \gamma f\left(x_{i}-h_{s}\right) \right]\]

Подставив \(f(x_{i} + h_{d})\) и \(f(x_{i} - h_{s})\) в их разложение в ряд Тейлора, это сводится к решению следующей системы линейных уравнений:

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{r} \alpha+\beta+\gamma=0 \\ \beta h_{d}-\gamma h_{s}=1 \\ \beta h_{d}^{2}+\gamma h_{s}^{2}=0 \end{array} \right.\end{split}\]

Полученное приближение \(f_{i}^{(1)}\) следующее:

\[\hat f_{i}^{(1)} = \frac{ h_{s}^{2}f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \left(h_{d}^{2} - h_{s}^{2}\right)f\left(x_{i}\right) - h_{d}^{2}f\left(x_{i}-h_{s}\right)} { h_{s}h_{d}\left(h_{d} + h_{s}\right)} + \mathcal{O}\left(\frac{h_{d}h_{s}^{2} + h_{s}h_{d}^{2}}{h_{d} + h_{s}}\right)\]

Стоит отметить, что если \(h_{s}=h_{d}\) (т.е., данные равномерно распределены), мы получаем стандартное приближение второго порядка:

\[\hat f_{i}^{(1)}= \frac{f\left(x_{i+1}\right) - f\left(x_{i-1}\right)}{2h} + \mathcal{O}\left(h^{2}\right)\]

Аналогичным образом можно получить приближения вперед/назад, используемые для границ.

Ссылки

[1]

Кватеррони А., Саччо Р., Салери Ф. (2007) Численные методы (Тексты по прикладной математике). Нью-Йорк: Спрингер.

[2]

Дурран Д. Р. (1999) Численные методы для волновых уравнений в геофизической динамике. Нью-Йорк: Спрингер.

[3]

Форнберг Б. (1988) Генерация формул конечных разностей на произвольно расположенных сетках, Математика вычислений 51, № 184: 699-706. PDF.

Примеры

>>> f = np.array([1, 2, 4, 7, 11, 16], dtype=float)
>>> np.gradient(f)
array([1. , 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5. ])
>>> np.gradient(f, 2)
array([0.5 ,  0.75,  1.25,  1.75,  2.25,  2.5 ])

Интервал также может быть указан массивом, который представляет координаты значений F вдоль измерений. Например, равномерный интервал:

>>> x = np.arange(f.size)
>>> np.gradient(f, x)
array([1. ,  1.5,  2.5,  3.5,  4.5,  5. ])

Или неравномерный:

>>> x = np.array([0., 1., 1.5, 3.5, 4., 6.], dtype=float)
>>> np.gradient(f, x)
array([1. ,  3. ,  3.5,  6.7,  6.9,  2.5])

Для двумерных массивов результатом будут два массива, отсортированных по оси. В этом примере первый массив представляет градиент по строкам, а второй — по столбцам:

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float))
[array([[ 2.,  2., -1.],
       [ 2.,  2., -1.]]), array([[1. , 2.5, 4. ],
       [1. , 1. , 1. ]])]

В этом примере интервал также указан: равномерный для axis=0 и неравномерный для axis=1

>>> dx = 2.
>>> y = [1., 1.5, 3.5]
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float), dx, y)
[array([[ 1. ,  1. , -0.5],
       [ 1. ,  1. , -0.5]]), array([[2. , 2. , 2. ],
       [2. , 1.7, 0.5]])]

Можно указать, как обрабатываются границы, используя edge_order

>>> x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> f = x**2
>>> np.gradient(f, edge_order=1)
array([1.,  2.,  4.,  6.,  7.])
>>> np.gradient(f, edge_order=2)
array([0., 2., 4., 6., 8.])

Ключевое слово axis может использоваться для указания подмножества осей, для которых вычисляется градиент

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float), axis=0)
array([[ 2.,  2., -1.],
       [ 2.,  2., -1.]])