numpy.linalg.pinv

linalg.pinv(a, rcond=None, hermitian=False, *, rtol=<no value>)[source]

Вычисление псевдообратного (обратного по Мюрре-Пенрозу) матрицы.

Вычисление обобщённого обратного матрицы с использованием её сингулярного разложения (SVD) и включением всех больших сингулярных значений.

Изменено в версии 1.14: Теперь может работать со стопками матриц

Параметры:

a(…, M, N) array_like

Матрица или стопка матриц, которые необходимо обработать псевдообращением.

rcond(…) array_like of float, optional

Порог для малых сингулярных значений. Сингулярные значения, меньшие или равные rcond * largest_singular_value, устанавливаются в ноль. Распространяется на стопку матриц. По умолчанию: 1e-15.

hermitianbool, optional

Если True, предполагается, что a является эрмитовой (симметричной, если вещественнозначная), что позволяет использовать более эффективный метод поиска сингулярных значений. По умолчанию False.

Новое в версии 1.17.0.

rtol(…) array_like of float, optional

То же, что и rcond, но это имя параметра, совместимое с API Array. Одновременно можно установить только rcond или rtol. Если ни один из них не задан, используется значение по умолчанию NumPy 1e-15. Если задан rtol=None, используется значение по умолчанию стандарта API.

Новое в версии 2.0.0.

Возвращаемое значение:

B(…, N, M) ndarray

Псевдообращение a. Если a является экземпляром matrix, то и B им является.

Исключения:

LinAlgError

Если вычисление SVD не сходится.

См. также

scipy.linalg.pinv

Аналогичная функция в SciPy.

scipy.linalg.pinvh

Вычисление псевдообратного эрмитовой матрицы.

Примечания

Псевдообратная матрица матрицы A, обозначаемая \(A^+\), определяется как: «матрица, которая “решает” [проблему наименьших квадратов] \(Ax = b\)», т.е., если \(\bar{x}\) является таким решением, то \(A^+\) — это та матрица, такая что \(\bar{x} = A^+b\).

Можно показать, что если \(Q_1 \Sigma Q_2^T = A\) — сингулярное разложение A, то \(A^+ = Q_2 \Sigma^+ Q_1^T\), где \(Q_{1,2}\) — ортогональные матрицы, \(\Sigma\) — диагональная матрица, состоящая из сингулярных значений A (обычно, следующих за нулями), а затем \(\Sigma^+\) — просто диагональная матрица, состоящая из обратных величин сингулярных значений A (опять же, следующих за нулями). [1]

Ссылки

[1]

G. Strang, Линейная алгебра и её приложения, 2-е изд., Орландо, Флорида, Academic Press, Inc., 1980, с. 139-142.

Примеры

Следующий пример проверяет, что a * a+ * a == a и a+ * a * a+ == a+:

>>> a = np.random.randn(9, 6)
>>> B = np.linalg.pinv(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(a, np.dot(B, a)))
True
>>> np.allclose(B, np.dot(B, np.dot(a, B)))
True