numpy.random.Generator.standard_t

метод

random.Generator.standard_t(df, size=None)

Генерирует выборку из стандартного распределения Стьюдента с df степенями свободы.

Особый случай гиперболического распределения. По мере увеличения df, результат приближается к стандартному нормальному распределению (standard_normal).

Параметры:

dffloat или array_like из float

Степени свободы, должны быть > 0.

sizeint или кортеж из int, необязательно

Форма выходных данных. Если заданная форма, например, (m, n, k), то m * n * k выборок генерируется. Если размер равен None (по умолчанию), возвращается одно значение, если df скаляр. В противном случае np.array(df).size выборок генерируется.

Возвращает:

outndarray или скаляр

Сгенерированные выборки из параметризованного стандартного распределения Стьюдента.

Примечания

Функция плотности вероятности для распределения Стьюдента:

\[P(x, df) = \frac{\Gamma(\frac{df+1}{2})}{\sqrt{\pi df} \Gamma(\frac{df}{2})}\Bigl( 1+\frac{x^2}{df} \Bigr)^{-(df+1)/2}\]

t-тест основан на предположении, что данные получены из нормального распределения. t-тест позволяет проверить, является ли выборочное среднее (то есть среднее, вычисленное из данных) хорошим приближением истинного среднего.

Вычисление распределения Стьюдента впервые было опубликовано в 1908 году Уильямом Госсетом, работавшим в пивоваренной компании Guinness в Дублине. Из-за вопросов защиты интеллектуальной собственности он опубликовал работу под псевдонимом, используя имя Стьюдент.

Ссылки

[1]

Dalgaard, Peter, “Вводный курс статистики с R”, Springer, 2002.

[2]

Википедия, “Распределение Стьюдента” https://en.wikipedia.org/wiki/Student’s_t-distribution

Примеры

Из книги Далгарда, страница 83 [1], предположим, что суточная энергетическая потребность 11 женщин в килоджоулях (кДж) составляет:

>>> intake = np.array([5260., 5470, 5640, 6180, 6390, 6515, 6805, 7515, \
...                    7515, 8230, 8770])

Отличается ли их потребление энергии систематически от рекомендуемой нормы в 7725 кДж? Нашей нулевой гипотезой будет отсутствие отклонения, а альтернативной гипотезой — наличие эффекта, который может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому наш тест является двусторонним.

Поскольку мы оцениваем среднее значение, и у нас есть N=11 значений в нашей выборке, у нас N-1=10 степеней свободы. Мы устанавливаем уровень значимости на 95% и вычисляем статистику t, используя эмпирическое среднее и эмпирическое стандартное отклонение нашего потребления. Мы используем ddof равное 1, чтобы основывать вычисление эмпирического стандартного отклонения на несмещенной оценке дисперсии (примечание: окончательная оценка не является несмещенной из-за вогнутой природы квадратного корня).

>>> np.mean(intake)
6753.636363636364
>>> intake.std(ddof=1)
1142.1232221373727
>>> t = (np.mean(intake)-7725)/(intake.std(ddof=1)/np.sqrt(len(intake)))
>>> t
-2.8207540608310198

Мы генерируем 1000000 выборок из распределения Стьюдента с соответствующими степенями свободы.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> s = rng.standard_t(10, size=1000000)
>>> h = plt.hist(s, bins=100, density=True)

Попадает ли наша статистика t в одну из двух критических областей, найденных на обоих хвостах распределения?

>>> np.sum(np.abs(t) < np.abs(s)) / float(len(s))
0.018318  #random < 0.05, statistic is in critical region

Значение вероятности для этого двустороннего теста составляет около 1,83%, что меньше предварительно определённого порога значимости в 5%.

Следовательно, вероятность наблюдения значений, таких же экстремальных, как наше потребление, при условии, что нулевая гипотеза верна, слишком мала, и мы отвергаем нулевую гипотезу об отсутствии отклонения.