21.2.1 Выражения, включающие диагональные матрицы

Предположим, что D — диагональная матрица. Если M — полная матрица, то D*M будет масштабировать строки M. Это означает, что если S = D*M, то для каждой пары индексов i,j выполняется

S(i,j) = D(i,i) * M(i,j).

Аналогично, M*D выполнит масштабирование столбцов.

Матрица D также может быть прямоугольной, m-на-n, где m != n. Если m < n, то выражение D*M эквивалентно

D(:,1:m) * M(1:m,:),

т. е., хвостовые n-m строки M игнорируются. Если m > n, то D*M эквивалентно

[D(1:n,:) * M; zeros(m-n, columns (M))],

т. е., к результату добавляются нулевые строки. Ситуация с правым умножением M*D аналогична.

Выражения D \ M и M / D выполняют обратное масштабирование. Они эквивалентны решению диагональной (или прямоугольной диагональной) системы в смысле наименьших квадратов с минимальной нормой. В точной арифметике это эквивалентно умножению на псевдообратную матрицу. Псевдообратная прямоугольной диагональной матрицы также является прямоугольной диагональной матрицей с переставленными размерами, где каждый ненулевой диагональный элемент заменяется его обратным значением. Алгоритмы деления матриц на самом деле используют деление вместо умножения на обратные значения для повышения точности вычислений; в противном случае они следуют вышеуказанному определению. Обратите внимание, что диагональная матрица никогда не усекается из-за плохо обусловленности; в противном случае она не будет иметь большого смысла для масштабирования. Это обычно согласуется с потребностями линейной алгебры. Полная матрица, которая случайно является диагональной (и, следовательно, не является специальным объектом), конечно, обрабатывается обычно.

Умножение и деление на диагональные матрицы эффективно работают также при сочетании с разреженными матрицами, т. е., D*S, где D — диагональная матрица, а S — разреженная матрица, масштабирует строки разреженной матрицы и возвращает разреженную матрицу. Выражения S*D, D\S, S/D работают аналогично.

Если D1 и D2 — обе диагональные матрицы, то выражения

D1 + D2
D1 - D2
D1 * D2
D1 / D2
D1 \ D2

снова дают диагональные матрицы при условии соблюдения обычных правил соответствия размеров. Использованные соотношения такие же, как описано выше.

Также диагональная матрица D может быть умножена или разделена на скаляр или возведена в скалярную степень, если она квадратная, что в любом случае дает диагональную матрицу в результате.

Диагональная матрица также может быть транспонирована или сопряжено-транспонирована, что дает ожидаемый результат. Извлечение главной подматрицы диагональной матрицы, т. е. D(1:m,1:n), даст диагональную матрицу, другие выражения индексирования неявно преобразуют в полную матрицу.

Добавление диагональной матрицы к полной матрице выполняется только с диагональными элементами. Таким образом,

A = A + eps * eye (n)

является эффективным методом дополнения диагонали матрицы. Вычитание работает аналогично.

При участии в выражениях с другими элементами по элементам операторами, .*, ./, .\ или .^, произойдет неявное преобразование в полную матрицу. Это не всегда строго необходимо, но выбрано для лучшей согласованности с MATLAB.