18.4 Функции матрицы

expm (A)

Возвращает экспоненту матрицы.

Матричная экспонента определяется как бесконечный ряд Тейлора

expm (A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + …

Однако, ряд Тейлора не используется для вычисления матричной экспоненты; см. Moler и Van Loan, Девятнадцать сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, SIAM Review, 1978. Данная функция использует метод диагонального приближения Паде по Варду с предварительным кондиционированием в три шага (SIAM Journal on Numerical Analysis, 1977). Диагональные приближения Паде — это рациональные многочлены матриц

-1
D (A)   N (A)

чьи ряды Тейлора совпадают с первыми 2q+1 членами ряда Тейлора выше; прямое вычисление ряда Тейлора (с теми же шагами предварительного кондиционирования) может быть предпочтительнее приближения Паде, когда Dq(A) плохо обусловлена.

См. также: logm, sqrtm.

s = logm (A)

s = logm (A, opt_iters)

[s, iters] = logm (…)

Вычисляет матричный логарифм квадратной матрицы A.

Реализация использует приближение Паде и тождество

logm (A) = 2^k * logm (A^(1 / 2^k))

Необязательный входной параметр opt_iters — максимальное количество вычислений квадратных корней и по умолчанию равен 100.

Необязательный выходной параметр iters — количество фактически вычисленных квадратных корней.

См. также: expm, sqrtm.

s = sqrtm (A)

[s, error_estimate] = sqrtm (A)

Вычисляет матричный квадратный корень квадратной матрицы A.

Ссылка: N.J. Higham. Новый sqrtm для MATLAB. Отчет о численных методах № 336, Центр вычислительной математики Манчестера, Манчестер, Англия, январь 1999.

См. также: expm, logm.

kron (A, B)

kron (A1, A2, …)

Формирует кронекеровское произведение двух или более матриц.

Это определяется поблочно как

x = [ a(i,j)*b ]

Например:

kron (1:4, ones (3, 1))
     ⇒  1  2  3  4
         1  2  3  4
         1  2  3  4

Если входных аргументов A1, A2, …, An более двух, кронекерово произведение вычисляется как

kron (kron (A1, A2), …, An)

Поскольку кронекерово произведение ассоциативно, это определено корректно.

blkmm (A, B)

Вычисляет произведения блоков матриц.

Блоки задаются как двумерные подмассивы массивов A, B. Размер A должен иметь вид [m,k,…] , а размер B должен быть [k,n,…]. Результат имеет размер [m,n,…] и вычисляется следующим образом:

for i = 1:prod (size (A)(3:end))
  C(:,:,i) = A(:,:,i) * B(:,:,i)
endfor

X = sylvester (A, B, C)

Решает уравнение Сильвестра.

Уравнение Сильвестра определяется как:

A X + X B = C

Решение вычисляется с использованием стандартных подпрограмм LAPACK.

Например:

sylvester ([1, 2; 3, 4], [5, 6; 7, 8], [9, 10; 11, 12])
   ⇒ [ 0.50000, 0.66667; 0.66667, 0.50000 ]