24.1.1 Matlab-совместимые решатели

Octave также предоставляет набор решателей для задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих интерфейс, совместимый с MATLAB. Параметры для этого класса методов устанавливаются с помощью функций.

• odeset
• odeget

В настоящее время реализованы следующие решатели:

• Методы Рунге-Кутты
  • ode23 интегрирует систему нежестких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) индекса 1. Он использует метод Богацки-Шампина третьего порядка и адаптирует локальный шаг, чтобы удовлетворить заданной пользователем толерантности. Решатель требует трёх вычислений функции на каждом шаге интегрирования.
  • ode45 интегрирует систему нежестких ОДУ (или ДАУ индекса 1) с помощью метода Дорманда-Принса переменного шага и высокого порядка. Он требует шести вычислений функции на каждом шаге интегрирования, но может делать большие шаги при гладких задачах, чем ode23: потенциально обеспечивая улучшенную эффективность при меньших толерантности.
• Многошаговые методы
  • ode15s интегрирует систему жёстких ОДУ (или ДАУ индекса 1) с помощью метода переменного шага и переменного порядка, основанного на формулах обратного различия (BDF).
  • ode15i интегрирует систему полностью неявных ОДУ (или ДАУ индекса 1) с использованием того же метода переменного шага и переменного порядка, что и ode15s. Функция decic может использоваться для вычисления согласованных начальных условий.

[t, y] = ode45 (fun, trange, init)

[t, y] = ode45 (fun, trange, init, ode_opt)

[t, y, te, ye, ie] = ode45 (…)

solution = ode45 (…)

ode45 (…)

Решает систему нежестких обыкновенных дифференциальных уравнений (нежестких ОДУ) с помощью известного явного метода Дорманда-Принса порядка 4.

fun — это указатель на функцию, встроенная функция или строка, содержащая имя функции, которая определяет ОДУ: y' = f(t,y). Функция должна принимать два входных значения, где первое — время t, а второе — столбец неизвестных y.

trange определяет временной интервал, на котором будет вычисляться ОДУ. Обычно это вектор из двух элементов, определяющий начальное и конечное время ([tinit, tfinal]). Если элементов больше двух, решение также будет вычислено в этих промежуточных моментах времени.

По умолчанию, ode45 использует адаптивный шаг времени с алгоритмом integrate_adaptive. Допуск для вычисления шага времени может быть изменён с помощью параметров "RelTol" и "AbsTol".

init содержит начальное значение для неизвестных. Если это строка, то решение y будет матрицей, в которой каждый столбец является решением для соответствующего начального значения в init.

Необязательный четвёртый аргумент ode_opt задаёт параметры решателя ОДУ, отличные от стандартных. Это структура, созданная с помощью odeset.

Функция обычно возвращает два результата. Переменная t — это столбец, содержащий моменты времени, где было найдено решение. Выход y — это матрица, в которой каждый столбец относится к разным неизвестным задачи, а каждая строка соответствует времени в t.

Результат также может быть возвращён как структура solution, которая имеет поле x содержащее строку времени, где было вычислено решение и поле y содержащее матрицу решения, таким образом, каждый столбец соответствует времени в x. Используйте fieldnames (solution) для просмотра других полей и дополнительной информации, возвращаемой функцией.

Если не запрошены аргументы вывода, и не задан OutputFcn в ode_opt, то OutputFcn устанавливается на odeplot, и результаты решателя отображаются сразу.

Если используется параметр "Events", то могут быть возвращены три дополнительных результата. te содержит время, когда функция Event вернула ноль. ye содержит значение решения в момент времени te. ie содержит индекс, указывающий, какая функция Event была активирована в случае нескольких функций Event.

Пример: Решение уравнения Ван дер Поля

fvdp = @(t,y) [y(2); (1 - y(1)^2) * y(2) - y(1)];
[t,y] = ode45 (fvdp, [0, 20], [2, 0]);

См. также: odeset, odeget, ode23, ode15s.

[t, y] = ode23 (fun, trange, init)

[t, y] = ode23 (fun, trange, init, ode_opt)

[t, y, te, ye, ie] = ode23 (…)

solution = ode23 (…)

ode23 (…)

Решает систему нежестких обыкновенных дифференциальных уравнений (нежестких ОДУ) с помощью известного явного метода Богацки-Шампина третьего порядка.

fun — это указатель на функцию, встроенная функция или строка, содержащая имя функции, которая определяет ОДУ: y' = f(t,y). Функция должна принимать два входных значения, где первое — время t, а второе — столбец неизвестных y.

trange определяет временной интервал, на котором будет вычисляться ОДУ. Обычно это вектор из двух элементов, определяющий начальное и конечное время ([tinit, tfinal]). Если элементов больше двух, решение также будет вычислено в этих промежуточных моментах времени.

По умолчанию, ode23 использует адаптивный шаг времени с алгоритмом integrate_adaptive. Допуск для вычисления шага времени может быть изменён с помощью параметров "RelTol" и "AbsTol".

init содержит начальное значение для неизвестных. Если это строка, то решение y будет матрицей, в которой каждый столбец является решением для соответствующего начального значения в init.

Необязательный четвёртый аргумент ode_opt задаёт параметры решателя ОДУ, отличные от стандартных. Это структура, созданная с помощью odeset.

Функция обычно возвращает два результата. Переменная t — это столбец, содержащий моменты времени, где было найдено решение. Выход y — это матрица, в которой каждый столбец относится к разным неизвестным задачи, а каждая строка соответствует времени в t.

Результат также может быть возвращён как структура solution, которая имеет поле x содержащее строку времени, где было вычислено решение и поле y содержащее матрицу решения, таким образом, каждый столбец соответствует времени в x. Используйте fieldnames (solution) для просмотра других полей и дополнительной информации, возвращаемой функцией.

Если не запрошены аргументы вывода, и не задан OutputFcn в ode_opt, то OutputFcn устанавливается на odeplot, и результаты решателя отображаются сразу.

Если используется параметр "Events", то могут быть возвращены три дополнительных результата. te содержит время, когда функция Event вернула ноль. ye содержит значение решения в момент времени te. ie содержит индекс, указывающий, какая функция Event была активирована в случае нескольких функций Event.

Пример: Решение уравнения Ван дер Поля

fvdp = @(t,y) [y(2); (1 - y(1)^2) * y(2) - y(1)];
[t,y] = ode23 (fvdp, [0, 20], [2, 0]);

Ссылка: Для определения этого метода см. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Runge%E2%80%93Kutta_methods.

См. также: odeset, odeget, ode45, ode15s.

[t, y] = ode15s (fun, trange, y0)

[t, y] = ode15s (fun, trange, y0, ode_opt)

[t, y, te, ye, ie] = ode15s (…)

solution = ode15s (…)

ode15s (…)

Решает систему жёстких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или жёстких полуявных ДАУ индекса 1.

ode15s использует метод BDF (формулы обратного различия) переменного шага и порядка, который варьируется от 1 до 5.

fun — это указатель на функцию, встроенная функция или строка, содержащая имя функции, которая определяет ОДУ: y' = f(t,y). Функция должна принимать два входных значения, где первое — время t, а второе — столбец неизвестных y.

trange определяет временной интервал, на котором будет вычисляться ОДУ. Обычно это вектор из двух элементов, определяющий начальное и конечное время ([tinit, tfinal]). Если элементов больше двух, решение также будет вычислено в этих промежуточных моментах времени.

init содержит начальное значение для неизвестных. Если это строка, то решение y будет матрицей, в которой каждый столбец является решением для соответствующего начального значения в init.

Необязательный четвёртый аргумент ode_opt задаёт параметры решателя ОДУ, отличные от стандартных. Это структура, созданная с помощью odeset.

Функция обычно возвращает два результата. Переменная t — это столбец, содержащий моменты времени, где было найдено решение. Выход y — это матрица, в которой каждый столбец относится к разным неизвестным задачи, а каждая строка соответствует времени в t.

Результат также может быть возвращён как структура solution, которая имеет поле x содержащее строку времени, где было вычислено решение и поле y содержащее матрицу решения, таким образом, каждый столбец соответствует времени в x. Используйте fieldnames (solution) для просмотра других полей и дополнительной информации, возвращаемой функцией.

Если не запрошены аргументы вывода, и не задан OutputFcn в ode_opt, то OutputFcn устанавливается на odeplot, и результаты решателя отображаются сразу.

Если используется параметр "Events", то могут быть возвращены три дополнительных результата. te содержит время, когда функция Event вернула ноль. ye содержит значение решения в момент времени te. ie содержит индекс, указывающий, какая функция Event была активирована в случае нескольких функций Event.

Пример: Решение уравнений Робертсона:

function r = robertson_dae (t, y)
  r = [ -0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3)
         0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3) - 3e7*y(2)^2
y(1) + y(2) + y(3) - 1 ];
endfunction
opt = odeset ("Mass", [1 0 0; 0 1 0; 0 0 0], "MStateDependence", "none");
[t,y] = ode15s (@robertson_dae, [0, 1e3], [1; 0; 0], opt);

См. также: decic, odeset, odeget, ode23, ode45.

[t, y] = ode15i (fun, trange, y0, yp0)

[t, y] = ode15i (fun, trange, y0, yp0, ode_opt)

[t, y, te, ye, ie] = ode15i (…)

solution = ode15i (…)

ode15i (…)

Решить систему полностью неявных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или дифференциальных алгебраических уравнений (ДАУ) первого порядка.

ode15i использует метод переменного шага и переменного порядка BDF (обратная формула конечных разностей), который изменяется от порядка 1 до 5.

Функция fun — это дескриптор функции, встроенная функция или строка, содержащая имя функции, определяющей ОДУ: 0 = f(t,y,yp). Функция должна принимать три входных значения, где первое — время t, второе — значение функции y (вектор-столбец), а третье — значение производной yp (вектор-столбец).

trange задаёт временной интервал, на котором будет вычисляться ОДУ. Обычно это вектор из двух элементов, определяющих начальное и конечное время ([tinit, tfinal]). Если элементов больше двух, то решение также будет вычисляться в эти промежуточные временные моменты.

y0 и yp0 содержат начальные значения для неизвестных y и yp. Если они являются векторами-строками, то решение y будет матрицей, в которой каждый столбец является решением для соответствующего начального значения в y0 и yp0.

y0 и yp0 должны быть согласованными начальными условиями, что означает, что f(t,y0,yp0) = 0 выполняется. Функция decic может использоваться для вычисления согласованных начальных условий, исходя из начальных приближений.

Необязательный пятый аргумент ode_opt задаёт нестандартные параметры решателя ОДУ. Он представляет собой структуру, сгенерированную с помощью odeset.

Функция обычно возвращает два результата. Переменная t — это вектор-столбец, содержащий моменты времени, где было найдено решение. Результат y — это матрица, в которой каждый столбец относится к разным неизвестным задачи, а каждая строка соответствует времени в t.

Результат также может быть возвращен как структура solution, которая имеет поле x, содержащее вектор-строку моментов времени, где было вычислено решение, и поле y, содержащее матрицу решения, при этом каждый столбец соответствует времени в x. Используйте fieldnames (solution) для просмотра других полей и дополнительной информации, возвращаемой функцией.

Если аргументы вывода не запрашиваются, и OutputFcn не указано в ode_opt, то OutputFcn устанавливается в odeplot, и результаты решателя отображаются немедленно.

Если используется параметр "Events", то могут быть возвращены три дополнительных результата. te содержит время, когда функция события вернула ноль. ye содержит значение решения в момент времени te. ie содержит индекс, указывающий на то, какая функция события была сработана в случае нескольких функций событий.

Пример: Решить уравнения Робертсона:

function r = robertson_dae (t, y, yp)
  r = [ -(yp(1) + 0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3))
        -(yp(2) - 0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3) + 3e7*y(2)^2)
y(1) + y(2) + y(3) - 1 ];
endfunction
[t,y] = ode15i (@robertson_dae, [0, 1e3], [1; 0; 0], [-1e-4; 1e-4; 0]);

См. также: decic, odeset, odeget.

[y0_new, yp0_new] = decic (fun, t0, y0, fixed_y0, yp0, fixed_yp0)

[y0_new, yp0_new] = decic (fun, t0, y0, fixed_y0, yp0, fixed_yp0, options)

[y0_new, yp0_new, resnorm] = decic (…)

Вычислить согласованные начальные условия неявного ОДУ y0_new и yp0_new исходя из начальных приближений y0 и yp0.

Максимум length (y0) компонент между fixed_y0 и fixed_yp0 может быть выбран в качестве фиксированных значений.

fun — это дескриптор функции. Функция должна принимать три входных значения: первое — время t, второе — вектор-столбец неизвестных y, третье — вектор-столбец неизвестных yp.

t0 — начальное время такое, что fun(t0, y0_new, yp0_new) = 0, заданное как скаляр.

y0 — вектор, используемый в качестве начального приближения для y.

fixed_y0 — вектор, который определяет компоненты y0 для фиксации. Выберите максимум length (y0) компонент между fixed_y0 и fixed_yp0 в качестве фиксированных значений. Установите компонент fixed_y0(i) в 1, если хотите зафиксировать значение y0(i). Установите компонент fixed_y0(i) в 0, если хотите разрешить изменение значения y0(i).

yp0 — вектор, используемый в качестве начального приближения для yp.

fixed_yp0 — вектор, который определяет компоненты yp0 для фиксации. Выберите максимум length (yp0) компонент между fixed_y0 и fixed_yp0 в качестве фиксированных значений. Установите компонент fixed_yp0(i) в 1, если хотите зафиксировать значение yp0(i). Установите компонент fixed_yp0(i) в 0, если хотите разрешить изменение значения yp0(i).

Необязательный седьмой аргумент options представляет собой массив структур. Используйте odeset для генерации этой структуры. Релевантными параметрами являются RelTol и AbsTol, которые определяют пороги погрешности, используемые для вычисления начальных условий.

Функция обычно возвращает два результата. Переменная y0_new — это вектор-столбец, содержащий согласованное начальное значение y. Результат yp0_new — это вектор-столбец, содержащий согласованное начальное значение yp.

Необязательный третий результат resnorm — это норма вектора остатков. Если resnorm мало, то decic успешно вычислил начальные условия. Если значение resnorm велико, используйте RelTol и AbsTol, чтобы скорректировать его.

Пример: Вычислить начальные условия для уравнений Робертсона:

function r = robertson_dae (t, y, yp)
  r = [ -(yp(1) + 0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3))
        -(yp(2) - 0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3) + 3e7*y(2)^2)
y(1) + y(2) + y(3) - 1 ];
endfunction

[y0_new,yp0_new] = decic (@robertson_dae, 0, [1; 0; 0], [1; 1; 0],
[-1e-4; 1; 0], [0; 0; 0]);

См. также: ode15i, odeset.

odestruct = odeset ()

odestruct = odeset ("field1", value1, "field2", value2, …)

odestruct = odeset (oldstruct, "field1", value1, "field2", value2, …)

odestruct = odeset (oldstruct, newstruct)

odeset ()

Создание или изменение структуры опций ODE.

При вызове без входных аргументов и с одним выходным аргументом возвращает новую структуру опций ODE, содержащую все возможные поля, инициализированные их значениями по умолчанию. Если выходной аргумент не запрашивается, отображается список общих опций решателя ODE вместе с их значениями по умолчанию.

При вызове с парами входных аргументов «имя-значение» "field1", "value1", "field2", "value2", … возвращает новую структуру опций ODE со всеми наиболее распространенными полями опций, инициализированными, и устанавливает значения полей "field1", "field2", … в значения value1, value2, ….

При вызове со структурой ввода oldstruct перезаписывает значения опций "field1", "field2", … новыми значениями value1, value2, … и возвращает измененную структуру.

При вызове с двумя входными структурами опций ODE oldstruct и newstruct перезаписывает все значения из структуры oldstruct новыми значениями из структуры newstruct. Пустые значения в newstruct не будут перезаписывать значения в oldstruct.

Наиболее часто используемые опции ODE, которым всегда присваивается значение odeset, следующие:

AbsTol: положительное скалярное | векторное значение, по умолчанию 1e-6

Допустимая абсолютная погрешность.

BDF: {"off"} | "on"

Использовать формулы BDF в неявных методах многошаговой итерации. Примечание: эта опция пока не реализована.

Events: function_handle

Функция события. Функция события должна иметь вид [value, isterminal, direction] = my_events_f (t, y)

InitialSlope: вектор

Согласованный начальный вектор наклона для решателей DAE.

InitialStep: положительное скалярное значение

Начальный размер шага по времени.

Jacobian: матрица | function_handle

Матрица Якоби, заданная как постоянная матрица или как функция времени и состояния.

JConstant: {"off"} | "on"

Указывает, является ли матрица Якоби постоянной матрицей или зависит от состояния.

JPattern: разреженная матрица

Если матрица Якоби разреженная и не постоянная, но сохраняет постоянную структуру разреженности, укажите структуру разреженности.

Mass: матрица | function_handle

Матрица масс, заданная как постоянная матрица или как функция времени и состояния.

MassSingular: {"maybe"} | "yes" | "on"

Укажите, является ли матрица масс вырожденной.

MaxOrder: {5} | 4 | 3 | 2 | 1

Максимальный порядок формулы.

MaxStep: положительное скалярное значение

Максимальное значение шага по времени.

MStateDependence: {"weak"} | "none" | "strong"

Укажите, зависит ли матрица масс от состояния или только от времени.

MvPattern: разреженная матрица

Если матрица масс разреженная и не постоянная, но сохраняет постоянную структуру разреженности, укажите структуру разреженности. Примечание: эта опция пока не реализована.

NonNegative: скаляр | вектор

Укажите элементы вектора состояния, которые ожидается сохранить неотрицательными во время моделирования.

NormControl: {"off"} | "on"

Управление относительной погрешностью по отношению к 2-норме решения, а не к ее абсолютному значению.

OutputFcn: function_handle

Функция мониторинга состояния во время моделирования. Для формы функции см. odeplot.

OutputSel: скаляр | вектор

Индексы элементов вектора состояния, которые необходимо передать в функцию мониторинга вывода.

Refine: положительное скалярное значение

Укажите, должен ли вывод возвращаться только в конце каждого шага по времени или также в промежуточные моменты времени. Значение должно быть скаляром, указывающим количество равномерно распределенных временных точек внутри каждого шага по времени, в которых необходимо возвращать вывод. Примечание: эта опция пока не реализована.

RelTol: положительное скалярное значение

Относительная допустимая погрешность.

Stats: {"off"} | "on"

Печать статистики решателя после моделирования.

Vectorized: {"off"} | "on"

Укажите, может ли odefun принимать несколько значений состояния одновременно.

Имена полей, которые не указаны в списке выше, также принимаются и добавляются в результирующую структуру.

См. также: odeget.

val = odeget (ode_opt, field)

val = odeget (ode_opt, field, default)

Получение значения свойства field в структуре опций ODE ode_opt.

Если вызывается с двумя входными аргументами и первый входной аргумент ode_opt является структурой опций ODE, а второй входной аргумент field — строка, определяющая имя опции, то возвращается значение опции val, соответствующее field из ode_opt.

Если вызывается с необязательным третьим входным аргументом, и field не задано в структуре ode_opt, то возвращается значение по умолчанию default вместо него.

См. также: odeset.

stop_solve = odeplot (t, y, flag)

Открывает новое окно фигуры и строит решение задачи ode на каждом шаге по времени во время интегрирования.

Типы и значения входных параметров t и y зависят от входного значения flag, которое является строкой. Допустимые значения flag:

"init"

Входной t должен быть столбцом длиной 2 с начальным и конечным шагом по времени ([tfirst tlast]. Входной y содержит начальные условия для задачи ode (y0).

""

Входной t должен быть скаляром типа double, указывающим время, для которого было вычислено решение в y.

"done"

Входы должны быть пустыми, но игнорируются, если присутствуют.

odeplot всегда возвращает false, т.е. не останавливает решатель ode.

Пример: решение анонимной реализации уравнения "Van der Pol" и отображение результатов во время решения.

fvdp = @(t,y) [y(2); (1 - y(1)^2) * y(2) - y(1)];

opt = odeset ("OutputFcn", @odeplot, "RelTol", 1e-6);
sol = ode45 (fvdp, [0 20], [2 0], opt);

Справочная информация: Эта функция вызывается функцией решателя ode, если она была указана в свойстве "OutputFcn" структуры опций, созданной с помощью odeset. Решатель ode сначала вызовет функцию с синтаксисом odeplot ([tfirst, tlast], y0, "init"). Функция инициализирует внутренние переменные, создаёт новое окно фигуры и устанавливает пределы оси x графика. Затем, на каждом шаге по времени во время интегрирования, решатель ode вызывает odeplot (t, y, []). В конце решения решатель ode вызывает odeplot ([], [], "done"), чтобы odeplot мог выполнить необходимые действия по очистке.

См. также: odeset, odeget, ode23, ode45.