21.5 Отличия в обработке нулевых элементов

Превращение диагональных и перестановочных матриц в отдельные типы матриц и использование более интеллектуальных алгоритмов для определенных операций подразумевает, как побочный эффект, небольшие различия в обработке нулей. Содержание этого раздела также относится к разреженным матрицам, обсуждаемым в следующей главе. (см. Разреженные матрицы)

Стандарт IEEE для чисел с плавающей точкой определяет результат выражений 0*Inf и 0*NaN как NaN. Это общепризнанно как хорошее компромиссное решение. Программное обеспечение для работы с структурированными и разреженными матрицами (включая Octave), однако, почти всегда различает "числовой ноль" и "предполагаемый ноль". "Числовой ноль" — это нулевое значение, встречающееся в позиции, где может быть любое значение с плавающей точкой. Он обычно хранится где-то в памяти как явное значение. "Предполагаемый ноль", напротив, — это нулевой элемент матрицы, подразумеваемый структурой матрицы (диагональная, треугольная) или шаблоном разреженности; его значение обычно не хранится явно нигде, но подразумевается базовой структурой данных.

Основное различие заключается в том, что предполагаемый ноль, при умножении на любое число или делении на любое ненулевое число, всегда даёт ноль, даже при, например, умножении на Inf или делении на NaN. Причина такого поведения заключается в том, что алгоритм на самом деле не выполняет числовое умножение; результат просто предполагается равным нулю. Аналогично, можно сказать, что часть вычисления, связанная с предполагаемыми нулями, выполняется символически, а не численно.

Это поведение не только способствует наиболее простому и эффективному внедрению алгоритмов, но и сохраняет определенные полезные инварианты, такие как:

• скаляр * диагональная матрица — это диагональная матрица
• разреженная матрица / скаляр сохраняет шаблон разреженности
• перестановочная матрица * матрица эквивалентна перестановке строк

все эти естественные математические истины были бы недействительными, если бы предполагаемые нули обрабатывались как числовые.

Обратите внимание, что MATLAB не строго следует этому принципу и в некоторых случаях преобразует предполагаемые нули в числовые нули, а в других — нет. На сегодняшний день нет намерений имитировать такое поведение в Octave.

Примеры влияния предполагаемых нулей по сравнению с числовыми нулями:

Inf * eye (3)
⇒
   Inf     0     0
     0   Inf     0
     0     0   Inf

Inf * speye (3)
⇒
Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 3 [33%])

  (1, 1) -> Inf
  (2, 2) -> Inf
  (3, 3) -> Inf

Inf * full (eye (3))
⇒
   Inf   NaN   NaN
   NaN   Inf   NaN
   NaN   NaN   Inf

diag (1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3

sparse (1:3,1:3,1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3
[1,0,0;0,2,0;0,0,3] * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
   NaN
   NaN