21.2.1 Выражения, включающие диагональные матрицы

Предположим, что D — диагональная матрица. Если M — полная матрица, то D*M будет масштабировать строки M. Это означает, что если S = D*M, то для каждой пары индексов i, j выполняется

S(i,j) = D(i,i) * M(i,j).

Аналогично, M*D выполнит масштабирование столбцов.

Матрица D также может быть прямоугольной, m×n, где m != n. Если m < n, то выражение D*M эквивалентно

D(:,1:m) * M(1:m,:),

т.е., последующие n-m строки матрицы M игнорируются. Если m > n, то D*M эквивалентно

[D(1:n,:) * M; zeros(m-n, columns (M))],

т.е., нулевые строки добавляются к результату. Ситуация с правым умножением M*D аналогична.

Выражения D \ M и M / D выполняют обратное масштабирование. Они эквивалентны решению диагональной (или прямоугольной диагональной) системы в смысле наименьших квадратов и минимальной нормы. В точной арифметике это эквивалентно умножению на псевдообратную матрицу. Псевдообратная прямоугольная диагональная матрица — это снова прямоугольная диагональная матрица с переставленными размерами, где каждый ненулевой диагональный элемент заменяется своим обратным. Алгоритмы деления матриц, на самом деле, используют деление, а не умножение на обратные значения, для лучшей числовой точности; в противном случае они следуют вышеуказанному определению. Обратите внимание, что диагональная матрица никогда не усекается из-за плохо обусловленности; в противном случае она не будет особо полезна для масштабирования. Это обычно соответствует потребностям линейной алгебры. Полная матрица, которая оказывается диагональной (и, следовательно, не является специальным объектом), конечно, обрабатывается нормально.

Умножение и деление на диагональные матрицы эффективно работают также в сочетании с разреженными матрицами, т.е., D*S, где D — диагональная матрица, а S — разреженная матрица, масштабирует строки разреженной матрицы и возвращает разреженную матрицу. Выражения S*D, D\S, S/D работают аналогично.

Если D1 и D2 — обе диагональные матрицы, то выражения

D1 + D2
D1 - D2
D1 * D2
D1 / D2
D1 \ D2

снова дают диагональные матрицы, при условии соблюдения обычных правил соответствия размеров. Используемые соотношения такие же, как описано выше.

Также диагональную матрицу D можно умножить или разделить на скаляр или возвести в скалярную степень, если она квадратная, получая диагональную матрицу во всех случаях.

Диагональная матрица также может быть транспонирована или сопряжённо-транспонирована, давая ожидаемый результат. Извлечение ведущей подматрицы диагональной матрицы, т.е. D(1:m,1:n), даст диагональную матрицу, другие выражения индексации неявно преобразуют в полную матрицу.

Сложение диагональной матрицы к полной матрице действует только на диагональные элементы. Таким образом,

A = A + eps * eye (n)

является эффективным методом дополнения диагонали матрицы. Вычитание работает аналогично.

При участии в выражениях с другими операторами поэлементных операций, .*, ./, .\ или .^, произойдёт неявное преобразование в полную матрицу. Это не всегда строго необходимо, но выбрано для обеспечения лучшей согласованности с MATLAB.