21.2.2 Выражения, включающие матрицы перестановок

Если P — матрица перестановок, а M — матрица, выражение P*M переставит строки M. Аналогично, M*P даст перестановку столбцов. Матричное деление P\M и M/P могут быть использованы для выполнения обратной перестановки.

Ранее описанная синтаксическая конструкция для создания матриц перестановок фактически может помочь пользователю понять связь между матрицей перестановок и вектором перестановки. А именно, справедливо следующее, где I = eye (n) — единичная матрица:

I(p,:) * M = (I*M) (p,:) = M(p,:)

Аналогично,

M * I(:,p) = (M*I) (:,p) = M(:,p)

Выражения I(p,:) и I(:,p) являются матрицами перестановок.

Матрица перестановок может быть транспонирована (или сопряженно-транспонирована, что равносильно, поскольку матрица перестановок никогда не является комплексной), что инвертирует перестановку, или эквивалентно, превращает матрицу строки-перестановки в матрицу столбца-перестановки. Для матриц перестановок транспонирование равносильно инверсии, таким образом, P\M эквивалентно P'*M. Транспонирование матрицы перестановок (или обращение) — операция с постоянным временем, изменяющая только внутренний флаг, и поэтому выбор между двумя вышеприведёнными эквивалентными выражениями для обратной перестановки полностью зависит от предпочтений пользователя.

Умножение и деление на матрицы перестановок эффективно работают также при объединении с разреженными матрицами, т. е., P*S, где P — матрица перестановок, а S — разреженная матрица, переставляет строки разреженной матрицы и возвращает разреженную матрицу. Выражения S*P, P\S, S/P работают аналогичным образом.

Две матрицы перестановок могут быть перемножены или поделены (если их размеры совпадают), выполняя композицию перестановок. Также матрица перестановок может быть индексирована вектором перестановки (или двумя векторами), что снова даёт матрицу перестановок. Любые другие операции, как правило, не приводят к матрице перестановок и, следовательно, вызовут неявное преобразование.