18.4 Функции матрицы

: expm (A)

Возвращает экспоненту матрицы.

Матричная экспонента определяется как бесконечный ряд Тейлора

expm (A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + …

Однако, ряд Тейлора не используется для вычисления матричной экспоненты; см. Moler и Van Loan, Девятнадцать сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, SIAM Review, 1978. Эта процедура использует метод диагонального приближения Паде по методу Ward с предварительным кондиционированием за три шага (SIAM Journal on Numerical Analysis, 1977). Диагональные приближения Паде — это рациональные многочлены матриц

-1
D (A)   N (A)

чьи ряды Тейлора совпадают с первыми 2q+1 членами ряда Тейлора выше; непосредственное вычисление ряда Тейлора (с теми же этапами предварительного кондиционирования) может быть желательным вместо приближения Паде, когда Dq(A) плохо обусловлено.

См. также: logm, sqrtm.

: s = logm (A)

: s = logm (A, opt_iters)

: [s, iters] = logm (…)

Вычисляет матричный логарифм квадратной матрицы A.

Реализация использует аппроксимацию Паде и тождество

logm (A) = 2^k * logm (A^(1 / 2^k))

Необязательный вход opt_iters — максимальное количество вычислений квадратных корней и по умолчанию равен 100.

Необязательный выход iters — количество фактически вычисленных квадратных корней.

См. также: expm, sqrtm.

: s = sqrtm (A)

: [s, error_estimate] = sqrtm (A)

Вычисляет матричный квадратный корень квадратной матрицы A.

Ссылка: Н.Д. Хайгам. Новая sqrtm для MATLAB. Отчёт о численном анализе № 336, Центр вычислительной математики Манчестера, Манчестер, Англия, январь 1999.

См. также: expm, logm.

: kron (A, B)

: kron (A1, A2, …)

Формирует кронекеровское произведение двух или более матриц.

Определяется поблочно как

x = [ a(i,j)*b ]

Например:

kron (1:4, ones (3, 1))
     ⇒  1  2  3  4
         1  2  3  4
         1  2  3  4

Если введено более двух аргументов A1, A2, …, An, кронекеровское произведение вычисляется как

kron (kron (A1, A2), …, An)

Так как кронекеровское произведение ассоциативно, это определение корректно.

: blkmm (A, B)

Вычисляет произведения блоков матриц.

Блоки задаются как двумерные подмассивы массивов A, B. Размер A должен иметь вид [m,k,…] , а размер B должен быть [k,n,…]. Результат имеет размер [m,n,…] и вычисляется следующим образом:

for i = 1:prod (size (A)(3:end))
  C(:,:,i) = A(:,:,i) * B(:,:,i)
endfor

: X = sylvester (A, B, C)

Решает уравнение Сильвестра.

Уравнение Сильвестра определяется как:

A X + X B = C

Решение вычисляется с использованием стандартных подпрограмм LAPACK.

Например:

sylvester ([1, 2; 3, 4], [5, 6; 7, 8], [9, 10; 11, 12])
   ⇒ [ 0.50000, 0.66667; 0.66667, 0.50000 ]