24.3 Решатели, совместимые с Matlab

Octave также предоставляет набор решателей для задач Коши обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), имеющих интерфейс, совместимый с MATLAB. Параметры для этого класса методов устанавливаются с помощью функций.

• odeset
• odeget

В настоящее время реализованы следующие решатели:

• Методы Рунге-Кутты
  • ode45 интегрирует систему нежестких ОДУ или дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) первого порядка, используя метод Дорманда-Принса переменного шага высокого порядка. Он требует шести вычислений функции за один шаг интегрирования, но может делать более крупные шаги на гладких задачах, чем ode23: потенциально обеспечивая улучшенную эффективность при меньших допусках.
  • ode23 интегрирует систему нежестких ОДУ или (или ДАУ первого порядка). Он использует метод Богацки-Шампина третьего порядка и адаптирует локальный шаг для удовлетворения заданного пользователем допуска. Решатель требует трех вычислений функции за один шаг интегрирования.
  • ode23s интегрирует систему жестких ОДУ (или ДАУ первого порядка) с использованием модифицированного метода Розенброка второго порядка.
• Методы линейной многошаговой интегрирования
  • ode15s интегрирует систему жестких ОДУ (или ДАУ первого порядка) с использованием метода переменного шага и переменного порядка, основанного на формулах обратных разностных отношений (BDF).
  • ode15i интегрирует систему полностью неявных ОДУ (или ДАУ первого порядка) с использованием того же метода переменного шага и переменного порядка, что и ode15s. decic может быть использован для вычисления согласованных начальных условий для ode15i.

Подробная информация о решателях приводится в работе Л. Ф. Шампина и М. В. Рейхельта, The MATLAB ODE Suite, SIAM Journal on Scientific Computing, том 18, 1997, стр. 1–22, DOI: https://doi.org/10.1137/S1064827594276424.

: [t, y] = ode45 (fun, trange, init)

: [t, y] = ode45 (fun, trange, init, ode_opt)

: [t, y, te, ye, ie] = ode45 (…)

: solution = ode45 (…)

: ode45 (…)

Решает систему нежестких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с помощью известного явного метода Дорманда-Принса 4-го порядка.

fun — это дескриптор функции, встроенная функция или строка, содержащая имя функции, которая определяет ОДУ: y' = f(t,y). Функция должна принимать два входа, где первый — время t, а второй — столбец неизвестных y.

trange задаёт интервал времени, на котором будет вычисляться ОДУ. Обычно это вектор из двух элементов, определяющих начальное и конечное время ([tinit, tfinal]). Если элементов больше двух, то решение также будет вычислено в эти промежуточные моменты времени.

По умолчанию, ode45 использует адаптивный шаг времени с алгоритмом integrate_adaptive. Допуск для вычисления шага времени можно изменить, используя параметры "RelTol" и "AbsTol".

init содержит начальное значение для неизвестных. Если это строка, то решение y будет матрицей, в которой каждый столбец — решение для соответствующего начального значения в init.

Необязательный четвертый аргумент ode_opt задаёт нестандартные параметры решателя ОДУ. Это структура, сгенерированная odeset.

Функция обычно возвращает два выхода. Переменная t — это столбец, содержащий моменты времени, где было найдено решение. Выход y — матрица, в которой каждый столбец относится к разным неизвестным задачи, а каждая строка соответствует времени в t.

Выход также может быть возвращён как структура solution, которая имеет поле x, содержащее строку времени, где было вычислено решение, и поле y, содержащее матрицу решения, где каждый столбец соответствует времени в x. Используйте fieldnames (solution) для просмотра других полей и дополнительной информации, возвращаемой функцией.

Если не указаны выходные аргументы и нет "OutputFcn" в ode_opt, то "OutputFcn" устанавливается в odeplot, и результаты решателя отображаются немедленно.

Если используется опция "Events", то могут быть возвращены три дополнительных выхода. te содержит время, когда функция события вернула ноль. ye содержит значение решения в момент времени te. ie содержит индекс, указывающий, какая функция события была активирована в случае нескольких функций событий.

Пример: решение уравнения Ван дер Поля

fvdp = @(t,y) [y(2); (1 - y(1)^2) * y(2) - y(1)];
[t,y] = ode45 (fvdp, [0, 20], [2, 0]);

См. также: odeset, odeget, ode23, ode15s.

: [t, y] = ode23 (fun, trange, init)

: [t, y] = ode23 (fun, trange, init, ode_opt)

: [t, y, te, ye, ie] = ode23 (…)

: solution = ode23 (…)

: ode23 (…)

Решает систему нежестких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с помощью известного явного метода Богацки-Шампина 3-го порядка.

fun — это дескриптор функции, встроенная функция или строка, содержащая имя функции, которая определяет ОДУ: y' = f(t,y). Функция должна принимать два входа, где первый — время t, а второй — столбец неизвестных y.

trange задаёт интервал времени, на котором будет вычисляться ОДУ. Обычно это вектор из двух элементов, определяющих начальное и конечное время ([tinit, tfinal]). Если элементов больше двух, то решение также будет вычислено в эти промежуточные моменты времени.

По умолчанию, ode23 использует адаптивный шаг времени с алгоритмом integrate_adaptive. Допуск для вычисления шага времени можно изменить, используя параметры "RelTol" и "AbsTol".

init содержит начальное значение для неизвестных. Если это строка, то решение y будет матрицей, в которой каждый столбец — решение для соответствующего начального значения в init.

Необязательный четвертый аргумент ode_opt задаёт нестандартные параметры решателя ОДУ. Это структура, сгенерированная odeset.

Функция обычно возвращает два выхода. Переменная t — это столбец, содержащий моменты времени, где было найдено решение. Выход y — матрица, в которой каждый столбец относится к разным неизвестным задачи, а каждая строка соответствует времени в t.

Выход также может быть возвращён как структура solution, которая имеет поле x, содержащее строку времени, где было вычислено решение, и поле y, содержащее матрицу решения, где каждый столбец соответствует времени в x. Используйте fieldnames (solution) для просмотра других полей и дополнительной информации, возвращаемой функцией.

Если не указаны выходные аргументы и нет "OutputFcn" в ode_opt, то "OutputFcn" устанавливается в odeplot, и результаты решателя отображаются немедленно.

Если используется опция "Events", то могут быть возвращены три дополнительных выхода. te содержит время, когда функция события вернула ноль. ye содержит значение решения в момент времени te. ie содержит индекс, указывающий, какая функция события была активирована в случае нескольких функций событий.

Пример: решение уравнения Ван дер Поля

fvdp = @(t,y) [y(2); (1 - y(1)^2) * y(2) - y(1)];
[t,y] = ode23 (fvdp, [0, 20], [2, 0]);

Ссылка: Определение этого метода см. в https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Runge%E2%80%93Kutta_methods.

См. также: odeset, odeget, ode45, ode15s.

: [t, y] = ode23s (fun, trange, init)

: [t, y] = ode23s (fun, trange, init, ode_opt)

: [t, y] = ode23s (…, par1, par2, …)

: [t, y, te, ye, ie] = ode23s (…)

: solution = ode23s (…)

Решить систему жёстких обыкновенных дифференциальных уравнений (жёсткие ОДУ) методом Розенброка порядка (2,3).

fun — это функция-обработчик, встроенная функция или строка, содержащая имя функции, которая определяет ОДУ: M y' = f(t,y). Функция должна принимать два входных параметра, где первый — время t, а второй — столбец неизвестных y. M — постоянная матрица масс, невырожденная и, возможно, разреженная. Установите поле "Mass" в odeopts с помощью odeset, чтобы указать матрицу масс.

trange определяет временной интервал, на котором будет оцениваться ОДУ. Обычно это вектор из двух элементов, определяющий начальное и конечное время ([tinit, tfinal]). Если элементов больше двух, то решение также будет вычислено в этих промежуточных временных моментах с использованием процедуры интерполяции того же порядка, что и у решателя.

По умолчанию ode23s использует адаптивный шаг времени с алгоритмом integrate_adaptive. Допустимая погрешность вычисления шага времени может быть изменена с помощью параметров "RelTol" и "AbsTol".

init содержит начальное значение для неизвестных. Если это строка, то решение y будет матрицей, в которой каждый столбец — решение для соответствующего начального значения в init.

Необязательный четвёртый аргумент ode_opt задаёт нестандартные параметры решателя ОДУ. Это структура, сгенерированная odeset. ode23s проигнорирует следующие параметры: "BDF", "InitialSlope", "MassSingular", "MStateDependence", "MvPattern", "MaxOrder", "Non-negative".

Функция обычно возвращает два выходных значения. Переменная t — это столбец, содержащий моменты времени, где было найдено решение. Выход y — это матрица, в которой каждый столбец относится к разным неизвестным задачи, а каждая строка соответствует моменту времени в t. Если trange задаёт промежуточные временные шаги, то будут возвращены только они.

Выходные данные также могут быть возвращены в виде структуры solution, которая имеет поле x, содержащее строку времени, где было вычислено решение, и поле y, содержащее матрицу решения, где каждый столбец соответствует времени в x. Используйте fieldnames (solution) для просмотра других полей и дополнительной информации, возвращаемой функцией.

Если используется параметр "Events", то могут быть возвращены три дополнительных выходных значения. te содержит время, когда функция события вернула ноль. ye содержит значение решения в момент времени te. ie содержит индекс, указывающий, какая функция события была активирована в случае нескольких функций событий.

Пример: Решение жёсткого уравнения Ван дер Поля

f = @(t,y) [y(2); 1000*(1 - y(1)^2) * y(2) - y(1)];
opt = odeset ('Mass', [1 0; 0 1], 'MaxStep', 1e-1);
[vt, vy] = ode23s (f, [0 2000], [2 0], opt);

См. также: odeset, daspk, dassl.

: [t, y] = ode15s (fun, trange, y0)

: [t, y] = ode15s (fun, trange, y0, ode_opt)

: [t, y, te, ye, ie] = ode15s (…)

: solution = ode15s (…)

: ode15s (…)

Решить систему жёстких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или жёстких полуявных дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) индекса 1.

ode15s использует метод ВДФ (обратной разностной формулы) с переменным шагом и порядком, который варьируется от 1 до 5.

fun — это функция-обработчик, встроенная функция или строка, содержащая имя функции, которая определяет ОДУ: y' = f(t,y). Функция должна принимать два входных параметра, где первый — время t, а второй — столбец неизвестных y.

trange определяет временной интервал, на котором будет оцениваться ОДУ. Обычно это вектор из двух элементов, определяющий начальное и конечное время ([tinit, tfinal]). Если элементов больше двух, то решение также будет вычислено в этих промежуточных временных моментах.

init содержит начальное значение для неизвестных. Если это строка, то решение y будет матрицей, в которой каждый столбец — решение для соответствующего начального значения в init.

Необязательный четвёртый аргумент ode_opt задаёт нестандартные параметры решателя ОДУ. Это структура, сгенерированная odeset.

Функция обычно возвращает два выходных значения. Переменная t — это столбец, содержащий моменты времени, где было найдено решение. Выход y — это матрица, в которой каждый столбец относится к разным неизвестным задачи, а каждая строка соответствует моменту времени в t.

Выходные данные также могут быть возвращены в виде структуры solution, которая имеет поле x, содержащее строку времени, где было вычислено решение, и поле y, содержащее матрицу решения, где каждый столбец соответствует времени в x. Используйте fieldnames (solution) для просмотра других полей и дополнительной информации, возвращаемой функцией.

Если аргументы вывода не затребованы и в ode_opt не указан "OutputFcn", то "OutputFcn" устанавливается в odeplot, и результаты решателя отображаются немедленно.

Если используется параметр "Events", то могут быть возвращены три дополнительных выходных значения. te содержит время, когда функция события вернула ноль. ye содержит значение решения в момент времени te. ie содержит индекс, указывающий, какая функция события была активирована в случае нескольких функций событий.

Пример: Решение уравнений Робертсона:

function r = robertson_dae (t, y)
  r = [ -0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3)
         0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3) - 3e7*y(2)^2
y(1) + y(2) + y(3) - 1 ];
endfunction
opt = odeset ("Mass", [1 0 0; 0 1 0; 0 0 0], "MStateDependence", "none");
[t,y] = ode15s (@robertson_dae, [0, 1e3], [1; 0; 0], opt);

См. также: decic, odeset, odeget, ode23, ode45.

: [t, y] = ode15i (fun, trange, y0, yp0)

: [t, y] = ode15i (fun, trange, y0, yp0, ode_opt)

: [t, y, te, ye, ie] = ode15i (…)

: solution = ode15i (…)

: ode15i (…)

Решить систему полностью неявных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) индекса 1.

ode15i использует метод ВДФ (обратной разностной формулы) с переменным шагом и порядком, который варьируется от 1 до 5.

fun — это функция-обработчик, встроенная функция или строка, содержащая имя функции, которая определяет ОДУ: 0 = f(t,y,yp). Функция должна принимать три входных параметра: первое — время t, второе — значение функции y (столбец), третье — значение производной yp (столбец).

trange определяет временной интервал, на котором будет оцениваться ОДУ. Обычно это вектор из двух элементов, определяющий начальное и конечное время ([tinit, tfinal]). Если элементов больше двух, то решение также будет вычислено в этих промежуточных временных моментах.

y0 и yp0 содержат начальные значения для неизвестных y и yp. Если они являются строками, то решение y будет матрицей, в которой каждый столбец — решение для соответствующего начального значения в y0 и yp0.

y0 и yp0 должны быть согласованными начальными условиями, то есть f(t,y0,yp0) = 0 удовлетворяется. Функция decic может быть использована для вычисления согласованных начальных условий при заданных начальных предположениях.

Необязательный пятый аргумент ode_opt задаёт нестандартные параметры решателя ОДУ. Это структура, сгенерированная odeset.

Функция обычно возвращает два выходных значения. Переменная t — это столбец, содержащий моменты времени, где было найдено решение. Выход y — это матрица, в которой каждый столбец относится к разным неизвестным задачи, а каждая строка соответствует моменту времени в t.

Выходные данные также могут быть возвращены в виде структуры solution, которая имеет поле x, содержащее строку времени, где было вычислено решение, и поле y, содержащее матрицу решения, где каждый столбец соответствует времени в x. Используйте fieldnames (solution) для просмотра других полей и дополнительной информации, возвращаемой функцией.

Если аргументы вывода не затребованы и в ode_opt не указан "OutputFcn", то "OutputFcn" устанавливается в odeplot, и результаты решателя отображаются немедленно.

Если используется параметр "Events", то могут быть возвращены три дополнительных выходных значения. te содержит время, когда функция события вернула ноль. ye содержит значение решения в момент времени te. ie содержит индекс, указывающий, какая функция события была активирована в случае нескольких функций событий.

Пример: Решение уравнений Робертсона:

function r = robertson_dae (t, y, yp)
  r = [ -(yp(1) + 0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3))
        -(yp(2) - 0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3) + 3e7*y(2)^2)
y(1) + y(2) + y(3) - 1 ];
endfunction
[t,y] = ode15i (@robertson_dae, [0, 1e3], [1; 0; 0], [-1e-4; 1e-4; 0]);

См. также: decic, odeset, odeget.

: [y0_new, yp0_new] = decic (fun, t0, y0, fixed_y0, yp0, fixed_yp0)

: [y0_new, yp0_new] = decic (fun, t0, y0, fixed_y0, yp0, fixed_yp0, options)

: [y0_new, yp0_new, resnorm] = decic (…)

Вычислить согласованные начальные условия неявно заданного ОДУ y0_new и yp0_new на основе начальных приближений y0 и yp0.

В качестве фиксированных значений можно выбрать не более length (y0) компонент между fixed_y0 и fixed_yp0.

fun — это дескриптор функции. Функция должна принимать три входных параметра: первым является время t, вторым — столбец неизвестных y, а третьим — столбец неизвестных yp.

t0 — начальное время, такое что fun(t0, y0_new, yp0_new) = 0, задаётся как скаляр.

y0 — вектор, используемый в качестве начального приближения для y.

fixed_y0 — вектор, который задаёт компоненты y0, которые необходимо удерживать постоянными. Выберите не более length (y0) компонент между fixed_y0 и fixed_yp0 в качестве фиксированных значений. Установите компонент fixed_y0(i) в 1, если необходимо зафиксировать значение y0(i). Установите компонент fixed_y0(i) в 0, если необходимо разрешить изменение значения y0(i).

yp0 — вектор, используемый в качестве начального приближения для yp.

fixed_yp0 — вектор, который задаёт компоненты yp0, которые необходимо удерживать постоянными. Выберите не более length (yp0) компонент между fixed_y0 и fixed_yp0 в качестве фиксированных значений. Установите компонент fixed_yp0(i) в 1, если необходимо зафиксировать значение yp0(i). Установите компонент fixed_yp0(i) в 0, если необходимо разрешить изменение значения yp0(i).

Необязательный седьмой аргумент options — это структура массива. Используйте odeset для генерации этой структуры. Соответствующие параметры — RelTol и AbsTol, которые задают пороги ошибок, используемые для вычисления начальных условий.

Функция обычно возвращает два выходных значения. Переменная y0_new — это столбец и содержит согласованное начальное значение y. Выходной параметр yp0_new — это столбец и содержит согласованное начальное значение yp.

Необязательный третий выходной параметр resnorm — это норма вектора остатков. Если resnorm мала, decic успешно вычислила начальные условия. Если значение resnorm велико, используйте RelTol и AbsTol для его корректировки.

Пример: Вычислить начальные условия для уравнений Робертсона:

function r = robertson_dae (t, y, yp)
  r = [ -(yp(1) + 0.04*y(1) - 1e4*y(2)*y(3))
        -(yp(2) - 0.04*y(1) + 1e4*y(2)*y(3) + 3e7*y(2)^2)
y(1) + y(2) + y(3) - 1 ];
endfunction
[y0_new,yp0_new] = decic (@robertson_dae, 0, [1; 0; 0], [1; 1; 0],
[-1e-4; 1; 0], [0; 0; 0]);

См. также: ode15i, odeset.

: odestruct = odeset ()

: odestruct = odeset ("field1", value1, "field2", value2, …)

: odestruct = odeset (oldstruct, "field1", value1, "field2", value2, …)

: odestruct = odeset (oldstruct, newstruct)

: odeset ()

Создать или изменить структуру параметров ОДУ.

При вызове без входных аргументов и с одним выходным аргументом вернуть новую структуру параметров ОДУ, содержащую все возможные поля, инициализированные их значениями по умолчанию. Если выходной аргумент не запрашивается, отобразить список общих параметров решателя ОДУ вместе с их значениями по умолчанию.

При вызове с парами имя-значение "field1", "value1", "field2", "value2", … вернуть новую структуру параметров ОДУ со всеми общими полями параметров, инициализированными, и установить значения полей "field1", "field2", … на значения value1, value2, ….

При вызове со структурой ввода oldstruct перезаписать значения параметров "field1", "field2", … новыми значениями value1, value2, … и вернуть изменённую структуру.

При вызове с двумя структурами параметров ОДУ oldstruct и newstruct перезаписать все значения из структуры oldstruct новыми значениями из структуры newstruct. Пустые значения в newstruct не перезапишут значения в oldstruct.

Наиболее часто используемые параметры ОДУ, которым всегда присваивается значение odeset, следующие:

AbsTol: положительный скаляр | вектор, знач. по умолчанию 1e-6

Погрешность абсолютной ошибки.

BDF: {"off"} | "on"

Использование формул BDF в неявных многошаговых методах. Примечание: Этот параметр пока не реализован.

Events: function_handle

Функция события. Функция события должна иметь вид [value, isterminal, direction] = my_events_f (t, y)

InitialSlope: вектор

Согласованный вектор начальной скорости для решателей ДУ.

InitialStep: положительный скаляр

Начальный размер шага по времени.

Jacobian: матрица | function_handle

Матрица Якоби, заданная как постоянная матрица или как функция от времени и состояния.

JConstant: {"off"} | "on"

Укажите, является ли матрица Якоби постоянной матрицей или зависит от состояния.

JPattern: разреженная матрица

Если матрица Якоби является разреженной и не постоянной, но сохраняет постоянную структуру разреженности, укажите структуру разреженности.

Mass: матрица | function_handle

Матрица масс, заданная как постоянная матрица или как функция от времени и состояния.

MassSingular: {"maybe"} | "yes" | "on"

Укажите, является ли матрица масс сингулярной.

MaxOrder: {5} | 4 | 3 | 2 | 1

Максимальный порядок формулы.

MaxStep: положительный скаляр

Максимальное значение шага по времени.

MStateDependence: {"weak"} | "none" | "strong"

Укажите, зависит ли матрица масс от состояния или только от времени.

MvPattern: разреженная матрица

Если матрица масс является разреженной и не постоянной, но сохраняет постоянную структуру разреженности, укажите структуру разреженности. Примечание: Этот параметр пока не реализован.

NonNegative: скаляр | вектор

Укажите элементы вектора состояния, которые, как ожидается, останутся неотрицательными во время моделирования.

NormControl: {"off"} | "on"

Управление относительной ошибкой по отношению к 2-норме решения, а не его абсолютному значению.

OutputFcn: function_handle

Функция для мониторинга состояния во время моделирования. Для формы функции см. odeplot.

OutputSel: скаляр | вектор

Индексы элементов вектора состояния, которые будут переданы функции мониторинга вывода.

Refine: положительный скаляр

Укажите, должен ли вывод возвращаться только в конце каждого шага по времени или также в промежуточных точках времени. Значение должно быть скаляром, указывающим количество равномерно распределённых точек времени внутри каждого шага по времени, в которых необходимо вернуть вывод. Примечание: Этот параметр пока не реализован.

RelTol: положительный скаляр

Относительная погрешность.

Stats: {"off"} | "on"

Печать статистики решателя после моделирования.

Vectorized: {"off"} | "on"

Укажите, может ли odefun принять сразу несколько значений состояния.

Имена полей, которые не находятся в вышеприведённом списке, также принимаются и добавляются в результирующую структуру.

См. также: odeget.

: val = odeget (ode_opt, field)

: val = odeget (ode_opt, field, default)

Получить значение свойства field в структуре параметров ОДУ ode_opt.

При вызове с двумя входными аргументами и первым входным аргументом ode_opt — структурой параметров ОДУ и вторым входным аргументом field — строкой, задающей имя параметра, вернуть значение параметра val, соответствующее field из ode_opt.

При вызове с необязательным третьим входным аргументом и если field не установлен в структуре ode_opt, вернуть значение по умолчанию default вместо этого.

См. также: odeset.

: stop_solve = odeplot (t, y, flag)

Открыть новое окно фигуры и построить решение задачи КЭ при каждом шаге интегрирования.

Типы и значения входных параметров t и y зависят от входного параметра flag, который имеет тип строка. Допустимые значения flag:

"init"

Входной параметр t должен быть столбцом длиной 2 с начальным и конечным шагом времени ([tfirst tlast]. Входной параметр y содержит начальные условия для задачи КЭ (y0).

""

Входной параметр t должен быть скалярным двойным значением, определяющим время, для которого было вычислено решение в входном параметре y.

"done"

Входы должны быть пустыми, но игнорируются, если они присутствуют.

odeplot всегда возвращает false, т.е. не останавливает решатель КЭ.

Пример: решить анонимную реализацию уравнения "Van der Pol" и отобразить результаты во время решения.

fvdp = @(t,y) [y(2); (1 - y(1)^2) * y(2) - y(1)];

opt = odeset ("OutputFcn", @odeplot, "RelTol", 1e-6);
sol = ode45 (fvdp, [0 20], [2 0], opt);

Справочная информация: Эта функция вызывается функцией решателя КЭ, если она была указана в свойстве "OutputFcn" структуры опций, созданной с помощью odeset. Решатель КЭ первоначально вызовет функцию со синтаксисом odeplot ([tfirst, tlast], y0, "init"). Функция инициализирует внутренние переменные, создает новое окно фигуры и устанавливает пределы оси х графика. Впоследствии, на каждом шаге интегрирования, решатель КЭ вызывает odeplot (t, y, []). По окончании решения решатель КЭ вызывает odeplot ([], [], "done"), чтобы odeplot мог выполнить необходимые действия по очистке.

См. также: odeset, odeget, ode23, ode45.