30.2 Диаграммы Вороного

Диаграмма Вороного или разбиение Вороного множества точек s в N-мерном пространстве — это разбиение N-мерного пространства таким образом, что все точки в v(p), которые являются частью разбиения, где p — член s, находятся ближе к p, чем к любой другой точке в s. Диаграмма Вороного связана с триангуляцией Делоне множества точек тем, что вершины разбиения Вороного являются центрами описанных окружностей простых многоугольников разбиения Делоне.

: voronoi (x, y)

: voronoi (x, y, options)

: voronoi (…, "linespec")

: voronoi (hax, …)

: h = voronoi (…)

: [vx, vy] = voronoi (…)

Постройте диаграмму Вороного точек (x, y).

Грани Вороного с точками на бесконечности не отображаются.

Аргумент options, который должен быть строкой или ячейным массивом строк, содержит параметры, передаваемые команде qhull. Подробнее см. документацию библиотеки Qhull http://www.qhull.org/html/qh-quick.htm#options.

Если "linespec" задан, он используется для задания цвета и стиля линии графика.

Если указан графический дескриптор осей hax, то диаграмма Вороного строится на указанных осях, а не в новом графике.

Если запрашивается единственный выходной аргумент, то диаграмма Вороного будет построена, а графический дескриптор h графика возвращается.

[vx, vy] = voronoi (…) возвращает вершины Вороного вместо построения диаграммы.

x = rand (10, 1);
y = rand (size (x));
h = convhull (x, y);
[vx, vy] = voronoi (x, y);
plot (vx, vy, "-b", x, y, "o", x(h), y(h), "-g");
legend ("", "points", "hull");

См. также: voronoin, delaunay, convhull.

: [C, F] = voronoin (pts)

: [C, F] = voronoin (pts, options)

Вычислите N-мерные грани Вороного.

Входная матрица pts размера [n, dim] содержит n точек в пространстве размерности dim.

C содержит точки граней Вороного. Список F содержит для каждой грани индексы точек Вороного.

Необязательный второй аргумент, который должен быть строкой или ячейным массивом строк, содержит параметры, передаваемые команде qhull. Подробнее см. документацию библиотеки Qhull http://www.qhull.org/html/qh-quick.htm#options.

Значения параметров по умолчанию зависят от размерности входных данных:

• 2D и 3D: options = {"Qbb"}
• 4D и выше: options = {"Qbb", "Qx"}

Если options не указан или [] то используются значения по умолчанию. В противном случае options заменяет список аргументов по умолчанию. Чтобы добавить пользовательские параметры к параметрам по умолчанию, необходимо повторить параметры по умолчанию в options. Используйте пустую строку, чтобы не передавать аргументов.

См. также: voronoi, convhulln, delaunayn.

Пример использования voronoi:

rand ("state",9);
x = rand (10,1);
y = rand (10,1);
tri = delaunay (x, y);
[vx, vy] = voronoi (x, y, tri);
triplot (tri, x, y, "b");
hold on;
plot (vx, vy, "r");

Результат можно увидеть на рисунке 30.3. Обратите внимание, что на этом рисунке добавлена окружность одной из треугольников, чтобы яснее показать связь между разбиением Делоне и диаграммой Вороного.

Рисунок 30.3: Триангуляция Делоне (синие линии) и диаграмма Вороного (красные линии) для случайного набора точек

Дополнительную информацию о размерах граней диаграммы Вороного и о том, какие точки набора точек находятся в многоугольнике, можно получить с помощью функций polyarea и inpolygon соответственно.

: polyarea (x, y)

: polyarea (x, y, dim)

Определить площадь многоугольника методом треугольников.

Переменные x и y определяют пары вершин и должны иметь одинаковую форму. Они могут быть векторами или массивами. Если они являются массивами, то столбцы x и y обрабатываются отдельно, и возвращается площадь для каждого.

Если необязательный аргумент dim задан, то polyarea работает по этому измерению массивов x и y.

Пример использования polyarea может быть таким:

rand ("state", 2);
x = rand (10, 1);
y = rand (10, 1);
[c, f] = voronoin ([x, y]);
af = zeros (size (f));
for i = 1 : length (f)
  af(i) = polyarea (c (f {i, :}, 1), c (f {i, :}, 2));
endfor

Грани диаграммы Вороного с вершиной на бесконечности имеют бесконечную площадь. Упрощенная версия polyarea для прямоугольников доступна с помощью rectint

: area = rectint (a, b)

Вычислить площадь или объем пересечения прямоугольников или N-мерных прямоугольных параллелепипедов.

Вычислить площадь пересечения прямоугольников в a и прямоугольников в b. Поддерживаются N-мерные прямоугольные параллелепипеды, в этом случае вычисляется объем (или гиперобъем) в зависимости от числа измерений.

2-мерные прямоугольники определяются как [xpos ypos width height], где xpos и ypos — положение левого нижнего угла. Поддерживаются высшие размерности, где координаты минимального значения каждого измерения следуют за длиной прямоугольника в этом измерении, например, [xpos ypos zpos kpos … width height depth k_length …].

Каждая строка a и b определяет прямоугольник, и если обе определяют несколько прямоугольников, то выходной результат area — матрица, где i-я строка соответствует i-й строке a, а j-й столбец соответствует j-й строке b.

См. также: polyarea.

: in = inpolygon (x, y, xv, yv)

: [in, on] = inpolygon (x, y, xv, yv)

Для многоугольника, определенного точками вершин (xv, yv), вернуть true, если точки (x, y) находятся внутри (или на границе) многоугольника; в противном случае вернуть false.

Входные переменные x и y должны иметь одинаковую размерность.

Необязательный выходной параметр on возвращает true, если точки находятся точно на краю многоугольника, и false в противном случае.

См. также: delaunay.

Пример использования inpolygon может быть:

randn ("state", 2);
x = randn (100, 1);
y = randn (100, 1);
vx = cos (pi * [-1 : 0.1: 1]);
vy = sin (pi * [-1 : 0.1 : 1]);
in = inpolygon (x, y, vx, vy);
plot (vx, vy, x(in), y(in), "r+", x(!in), y(!in), "bo");
axis ([-2, 2, -2, 2]);

Результат можно увидеть на рисунке 30.4.

Рисунок 30.4: Иллюстрация использования функции inpolygon для определения точек внутри многоугольника