21.5 Отличия в обработке нулевых элементов

Превращение диагональных и перестановочных матриц в особые объекты матриц и последующее использование более интеллектуальных алгоритмов для определенных операций подразумевает, как побочный эффект, небольшие различия в обработке нулей. Содержание этого раздела также относится к разреженным матрицам, обсуждаемым в следующей главе. (см. Разреженные матрицы)

Стандарт IEEE для чисел с плавающей точкой определяет результат выражений 0*Inf и 0*NaN как NaN. Это широко признано хорошим компромиссом. Программное обеспечение для работы с структурированными и разреженными матрицами (включая Octave) практически всегда делает различие между «численным нулём» и «предполагаемым нулём». «Числовой ноль» — это нулевое значение, встречающееся в месте, где может быть любое значение с плавающей точкой. Обычно оно хранится в памяти как явное значение. «Предполагаемый ноль», напротив, — это нулевой элемент матрицы, подразумеваемый структурой матрицы (диагональной, треугольной) или схемой разреженности; его значение обычно не хранится явно, а подразумевается базовой структурой данных.

Основное различие заключается в том, что предполагаемый ноль, умноженный на любое число или деленный на любое ненулевое число, всегда даёт ноль, даже когда, например, умножается на Inf или делится на NaN. Причина этого поведения заключается в том, что алгоритм базового уровня фактически не выполняет численное умножение; результат просто предполагается нулевым. Эквивалентно, можно сказать, что часть вычисления, связанная с предполагаемыми нулями, выполняется символически, а не численно.

Это поведение не только упрощает и повышает эффективность реализации алгоритмов, но и сохраняет определённые полезные инварианты, такие как:

• скаляр * диагональная матрица — это диагональная матрица
• разреженная матрица / скаляр сохраняет схему разреженности
• перестановочная матрица * матрица эквивалентна перестановке строк

все эти естественные математические истины были бы нарушены, если бы предполагаемые нули обрабатывались как числовые.

Обратите внимание, что MATLAB не строго следует этому принципу и в некоторых случаях преобразует предполагаемые нули в числовые нули, а в других — нет. По состоянию на сегодняшний день нет планов имитировать такое поведение в Octave.

Примеры эффектов предполагаемых нулей по сравнению с числовыми нулями:

Inf * eye (3)
⇒
   Inf     0     0
     0   Inf     0
     0     0   Inf

Inf * speye (3)
⇒
Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 3 [33%])

  (1, 1) -> Inf
  (2, 2) -> Inf
  (3, 3) -> Inf

Inf * full (eye (3))
⇒
   Inf   NaN   NaN
   NaN   Inf   NaN
   NaN   NaN   Inf

diag (1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3

sparse (1:3,1:3,1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3
[1,0,0;0,2,0;0,0,3] * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
   NaN
   NaN