18.4 Функции матрицы

: expm (A) ¶

Возвращает экспоненту матрицы.

Матричная экспонента определяется как бесконечный ряд Тейлора

expm (A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + …

Однако, ряд Тейлора не используется для вычисления матричной экспоненты; см. Moler и Van Loan, Девятнадцать сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, SIAM Review, 1978. Эта процедура использует метод диагонального приближения Паде Уорда с предварительным кондиционированием в трех шагах (SIAM Journal on Numerical Analysis, 1977). Диагональные приближения Паде — это рациональные многочлены матриц

-1
D (A)   N (A)

чьи ряды Тейлора соответствуют первым 2q+1 членам ряда Тейлора выше; прямая оценка ряда Тейлора (с теми же шагами предварительного кондиционирования) может быть предпочтительнее приближения Паде, когда Dq(A) плохо обусловлена.

См. также: logm, sqrtm.

: s = logm (A) ¶

: s = logm (A, opt_iters) ¶

: [s, iters] = logm (…) ¶

Вычислить матричный логарифм квадратной матрицы A.

Реализация использует приближение Паде и тождество

logm (A) = 2^k * logm (A^(1 / 2^k))

Необязательный входной параметр opt_iters — максимальное количество вычислений квадратных корней и по умолчанию равен 100.

Необязательный выходной параметр iters — количество фактически вычисленных квадратных корней.

См. также: expm, sqrtm.

: s = sqrtm (A) ¶

: [s, error_estimate] = sqrtm (A) ¶

Вычислить матричный квадратный корень квадратной матрицы A.

Ссылка: N.J. Higham. Новый sqrtm для MATLAB. Отчет по численных методам № 336, Манчестерский центр вычислительной математики, Манчестер, Англия, январь 1999.

См. также: expm, logm.

: kron (A, B) ¶

: kron (A1, A2, …) ¶

Формирует кронекерово произведение двух или более матриц.

Это определяется поблочно как

x = [ a(i,j)*b ]

Например:

kron (1:4, ones (3, 1))
     ⇒  1  2  3  4
         1  2  3  4
         1  2  3  4

Если входных аргументов A1, A2, …, An больше двух, кронекерово произведение вычисляется как

kron (kron (A1, A2), …, An)

Поскольку кронекерово произведение ассоциативно, это определение корректно.

: blkmm (A, B) ¶

Вычисляет произведения блоков матриц.

Блоки задаются как двумерные подмассивы массивов A, B. Размер A должен иметь вид [m,k,…] , а размер B должен быть [k,n,…]. Результат имеет размер [m,n,…] и вычисляется следующим образом:

for i = 1:prod (size (A)(3:end))
  C(:,:,i) = A(:,:,i) * B(:,:,i)
endfor

: X = sylvester (A, B, C) ¶

Решает уравнение Сильвестра.

Уравнение Сильвестра определяется как:

A X + X B = C

Решение вычисляется с помощью стандартных подпрограмм LAPACK.

Например:

sylvester ([1, 2; 3, 4], [5, 6; 7, 8], [9, 10; 11, 12])
   ⇒ [ 0.50000, 0.66667; 0.66667, 0.50000 ]