19.2 Вещание

Вещание описывает, как бинарные операторы и функции Octave ведут себя, когда их матричные или массивно-векторные операнды или аргументы имеют разный размер. С версии 3.6.0 Octave автоматически производит вещание векторов, матриц и массивов при использовании поэлементных бинарных операторов и функций. В общих чертах, меньшие массивы «вещаются» по более крупному, пока они не получат совместимую форму. Правило заключается в том, что соответствующие размерности массивов должны либо

1. быть равными, или
2. одна из них должна быть равна 1.

В случае, если все размерности равны, вещание не происходит, и происходит обычная поэлементная арифметика. Для массивов более высоких размерностей, если количество размерностей не совпадает, то отсутствующие конечные размерности обрабатываются как 1. Когда одна из размерностей равна 1, массив с этой размерностью-единицей копируется вдоль этой размерности до тех пор, пока он не будет соответствовать размерности другого массива. Например, рассмотрим

x = [1 2 3;
     4 5 6;
     7 8 9];

y = [10 20 30];

x + y

Без вещания, x + y было бы ошибкой, потому что размерности не совпадают. Однако с вещанием происходит так, как если бы была выполнена следующая операция:

x = [1 2 3
     4 5 6
     7 8 9];

y = [10 20 30
     10 20 30
     10 20 30];

x + y
⇒    11   22   33
      14   25   36
      17   28   39

То есть, меньший массив размером [1 3] копируется вдоль размерности-единицы (количество строк), пока не станет [3 3]. Однако фактической копирования не происходит. Внутренняя реализация повторно использует элементы вдоль необходимой размерности, чтобы достичь желаемого эффекта без копирования в памяти.

Оба массива могут быть распространены друг на друга, например, все попарные различия элементов вектора с самим собой:

y - y'
⇒    0   10   20
    -10    0   10
    -20  -10    0

Здесь векторы размера [1 3] и [3 1] оба распространяются в матрицы размера [3 3] перед выполнением обычного вычитания матриц.

Особым случаем вещания, который может быть знаком, является случай, когда все размерности массива, подлежащего вещанию, равны 1, то есть массив является скаляром. Таким образом, например, операции, такие как x - 42 и max (x, 2), являются основными примерами вещания.

Для примера с более высокой размерностью предположим, что img — это RGB-изображение размером [m n 3], и мы хотим умножить каждый цвет на другой скаляр. Следующий код выполняет это с помощью вещания,

img .*= permute ([0.8, 0.9, 1.2], [1, 3, 2]);

Обратите внимание на использование функции permute для согласования размерностей вектора [0.8, 0.9, 1.2] с img.

Для функций, которые не написаны с учетом вещания, bsxfun может быть полезен для принудительного вещания.

: C = bsxfun (f, A, B) ¶

Применить бинарную функцию f поэлементно к двум массивно-векторным аргументам A и B, расширяя размерности-единицы в любом из входных аргументов по мере необходимости.

f — это обработчик функции, встроенная функция или строка, содержащая имя функции для оценки. Функция f должна уметь принимать два аргумента-колонки-вектора равной длины или один аргумент-колонка-вектор и скаляр.

Размерности A и B должны быть равны или иметь размерность-единицу. Размерности-единицы массивов будут расширены до той же размерности, что и другой массив.

См. также: arrayfun, cellfun.

Вещание применяется только в том случае, если выполняются оба условия вещания. Однако, как обычно, вещание не применяется, когда две размерности различаются, и ни одна из них не равна 1:

x = [1 2 3
     4 5 6];
y = [10 20
     30 40];
x + y

Это приведет к ошибке о несоответствующих аргументах.

Помимо общих арифметических операций, несколько функций с двумя аргументами также вещаются. Полный список функций и операторов, которые вещаются,

plus      +
      minus     -
      times     .*
      rdivide   ./
      ldivide   .\
      power     .^
      lt        <
      le        <=
      eq        ==
      gt        >
      ge        >=
      ne        !=  ~=
      and       &
      or        |
      atan2
      hypot
      max
      min
      mod
      rem
      xor

      +=  -=  .*=  ./=  .\=  .^=  &=  |=

Вот реальный пример силы вещания. Алгоритм Флойда-Уоршелла используется для вычисления кратчайших путей между каждой парой вершин в графе. Примитивная реализация для матрицы смежности графа порядка n может выглядеть так:

for k = 1:n
  for i = 1:n
    for j = 1:n
      dist(i,j) = min (dist(i,j), dist(i,k) + dist(k,j));
    endfor
  endfor
endfor

После векторизации внутреннего цикла она может выглядеть так:

for k = 1:n
  for i = 1:n
    dist(i,:) = min (dist(i,:), dist(i,k) + dist(k,:));
  endfor
endfor

Используя вещание в обоих направлениях, она выглядит так:

for k = 1:n
  dist = min (dist, dist(:,k) + dist(k,:));
endfor

Относительная производительность по времени трех техник для заданного графа с 100 вершинами составляет 7,3 секунды для примитивного кода, 87 миллисекунд для однократно векторизованного кода и 1,3 миллисекунды для полностью вещаемого кода. Для графа с 1000 вершинами векторизация занимает 11,7 секунд, а вещание — только 1,15 секунды. Поэтому в общем случае стоит писать код с вещанием для повышения производительности.

Однако будьте осторожны, не прибегая к вещанию, если достаточно более простой операции. Для матриц a и b рассмотрите следующее:

c = sum (permute (a, [1, 3, 2]) .* permute (b, [3, 2, 1]), 3);

Эта операция вещает две матрицы с перестроенными размерностями друг на друга во время поэлементного умножения, чтобы получить более крупный массив 3-D, а затем этот массив суммируется по третьей размерности. Немного подумав, можно доказать, что эта операция — просто гораздо более быстрая обычная матричная умножение, c = a*b;.

Примечание по терминологии: «вещание» — это термин, популяризированный числовой средой Numpy в языке программирования Python. В других языках программирования и средах вещание также может быть известно как *двоичное расширение размерности-единицы* (BSX, в MATLAB, и источник названия функции bsxfun), *переработка* (язык программирования R), *многоуровневая обработка данных с одной инструкцией* (SIMD) или *репликация*.

• Вещание и код предыдущих версий

try
  c = a.*b;
catch
  c = a.*a;
end_try_catch

if (isequal (size (a), size (b)))
  c = a .* b;
else
  c = a .* a;
endif