21.2.2 Выражения, включающие матрицы перестановок

Если P — матрица перестановок, а M — матрица, выражение P*M переставит строки M. Аналогично, M*P даст перестановку столбцов. Матричное деление P\M и M/P могут использоваться для выполнения обратной перестановки.

Ранее описанный синтаксис создания матриц перестановок на самом деле может помочь пользователю понять связь между матрицей перестановок и вектором перестановки. А именно, справедливо следующее, где I = eye (n) — единичная матрица:

I(p,:) * M = (I*M) (p,:) = M(p,:)

Аналогично,

M * I(:,p) = (M*I) (:,p) = M(:,p)

Выражения I(p,:) и I(:,p) являются матрицами перестановок.

Матрица перестановок может быть транспонирована (или сопряжённо-транспонирована, что то же самое, так как матрица перестановок никогда не является комплексной), обращая перестановку или, что эквивалентно, превращая матрицу перестановки строк в матрицу перестановки столбцов. Для матриц перестановок транспонирование эквивалентно обращению, таким образом, P\M эквивалентно P'*M. Транспонирование матрицы перестановок (или обращение) является операцией с постоянным временем, меняющей только флаг внутри, и поэтому выбор между двумя вышеперечисленными эквивалентными выражениями для обратной перестановки полностью зависит от предпочтений пользователя.

Умножение и деление на матрицы перестановок эффективно работают также при совместном использовании с разреженными матрицами, т.е. P*S, где P — матрица перестановок, а S — разреженная матрица, переставляет строки разреженной матрицы и возвращает разреженную матрицу. Выражения S*P, P\S, S/P работают аналогично.

Две матрицы перестановок могут быть перемножены или поделены (если их размеры совпадают), выполняя композицию перестановок. Также матрица перестановок может быть индексирована вектором перестановки (или двумя векторами), что снова даёт матрицу перестановок. Любые другие операции, как правило, не дают матрицы перестановок и, следовательно, вызовут неявное преобразование.