18.3 Матричные разложения

: R = chol (A) ¶

: [R, p] = chol (A) ¶

: [R, p, Q] = chol (A) ¶

: [R, p, Q] = chol (A, "vector") ¶

: [L, …] = chol (…, "lower") ¶

: [R, …] = chol (…, "upper") ¶

Вычислить верхнюю факторизацию Холецкого, R, вещественной симметричной или комплексной эрмитовой положительно определенной матрицы A.

Верхняя факторизация Холецкого R вычисляется с использованием верхней треугольной части матрицы A и определяется следующим образом

R' * R = A.

Вызов chol с необязательным флагом "upper" имеет тот же результат. В отличие от этого, использование необязательного флага "lower", chol возвращает нижнюю треугольную факторизацию, вычисленную с использованием нижней треугольной части матрицы A, так что

L * L' = A.

Вызов с одним выходным аргументом chol завершается ошибкой, если матрица A не является положительно определенной. Обратите внимание, что если матрица A не является вещественной симметричной или комплексной эрмитовой, то нижняя треугольная часть рассматривается как (комплексно сопряженный) транспонированный верхний треугольник или наоборот, учитывая "lower" флаг.

Вызов с двумя или более выходными аргументами p указывает, была ли матрица A положительно определенной, и chol не завершается ошибкой. Значение 0 для p означает, что матрица A положительно определенная, и R дает факторизацию. В противном случае p будет иметь положительное значение.

Если вызывается с тремя выходными аргументами, матрица A должна быть разреженной, и перед факторизацией к матрице A применяется сохраняющая разреженность перестановка строк/столбцов. То есть R является факторизацией A(Q,Q) так, что

R' * R = Q' * A * Q.

Перестановка, сохраняющая разреженность, обычно возвращается как матрица. Однако, с учётом необязательного флага "vector", Q будет возвращён как вектор такой, что

R' * R = A(Q, Q).

В общем случае нижняя треугольная факторизация значительно быстрее для разреженных матриц.

См. также: hess, lu, qr, qz, schur, svd, ichol, cholinv, chol2inv, cholupdate, cholinsert, choldelete, cholshift.

: Ainv = cholinv (A) ¶

Вычислить обратную симметричной положительно определённой матрицы A с помощью факторизации Холецкого.

См. также: chol, chol2inv, inv.

: Ainv = chol2inv (R) ¶

Вычислить обратную симметричной, положительно определённой квадратной матрицы по её разложению Холецкого, R.

Обратите внимание, что R должна быть верхней треугольной матрицей с положительными диагональными элементами. chol2inv (U) предоставляет inv (R'*R) но значительно быстрее, чем использование inv.

См. также: chol, cholinv, inv.

: [R1, info] = cholupdate (R, u, op) ¶

Обновить или понизить факторизацию Холецкого.

Для верхней треугольной матрицы R и столбцового вектора u попытаться определить другую верхнюю треугольную матрицу R1, такую что

• R1’*R1 = R’*R + u*u’ если op это "+"
• R1’*R1 = R’*R - u*u’ если op это "-"

Если op это "-", info устанавливается в

• 0, если понижение прошло успешно,
• 1, если R’*R - u*u’ не является положительно определённой,
• 2, если R вырожденная.

Если info отсутствует, выводится сообщение об ошибке в случаях 1 и 2.

См. также: chol, cholinsert, choldelete, cholshift.

: R1 = cholinsert (R, j, u) ¶

: [R1, info] = cholinsert (R, j, u) ¶

Обновление факторизации Холецкого с учётом строки или столбца для вставки в исходной факторизованной матрице.

Для факторизации Холецкого вещественной симметричной или комплексной эрмитовой положительно определённой матрицы A = R’*R, R верхнетреугольная, вернуть факторизацию Холецкого для A1, где A1(p,p) = A, A1(:,j) = A1(j,:)’ = u и p = [1:j-1,j+1:n+1]. u(j) должно быть положительным.

По возвращении, info устанавливается в

• 0, если вставка прошла успешно,
• 1, если A1 не является положительно определённой,
• 2, если R вырожденная.

Если info отсутствует, выводится сообщение об ошибке в случаях 1 и 2.

См. также: chol, cholupdate, choldelete, cholshift.

: R1 = choldelete (R, j) ¶

Обновление факторизации Холецкого с учётом строки или столбца для удаления из исходной факторизованной матрицы.

Для факторизации Холецкого вещественной симметричной или комплексной эрмитовой положительно определённой матрицы A = R’*R, R верхнетреугольная, вернуть факторизацию Холецкого для A(p,p), где p = [1:j-1,j+1:n+1].

См. также: chol, cholupdate, cholinsert, cholshift.

: R1 = cholshift (R, i, j) ¶

Обновление факторизации Холецкого с учётом диапазона столбцов для сдвига в исходной факторизованной матрице.

Для факторизации Холецкого вещественной симметричной или комплексной эрмитовой положительно определённой матрицы A = R’*R, R верхнетреугольная, вернуть факторизацию Холецкого для A(p,p), где p — перестановка
p = [1:i-1, shift(i:j, 1), j+1:n] если i < j
или
p = [1:j-1, shift(j:i,-1), i+1:n] если j < i.

См. также: chol, cholupdate, cholinsert, choldelete.

: H = hess (A) ¶

: [P, H] = hess (A) ¶

Вычислить разложение Хессенберга матрицы A.

Разложение Хессенберга — это P * H * P' = A где P — квадратная унитарная матрица (P' * P = I, используя комплексно-сопряжённое транспонирование) и H — верхняя матрица Хессенберга (H(i, j) = 0 forall i > j+1).

Разложение Хессенберга обычно используется как первый шаг в вычислении собственных значений, но также имеет и другие применения (см. Голуб, Нэш и Ван Лоан, IEEE Transactions on Automatic Control, 1979).

См. также: eig, chol, lu, qr, qz, schur, svd.

: [L, U] = lu (A) ¶

: [L, U, P] = lu (A) ¶

: [L, U, P, Q] = lu (S) ¶

: [L, U, P, Q, R] = lu (S) ¶

: […] = lu (S, thresh) ¶

: y = lu (…) ¶

: […] = lu (…, "vector") ¶

Вычислить LU-разложение матрицы A.

Если A полная, то используются подпрограммы из LAPACK, а если A разреженная, то используется UMFPACK.

Результат возвращается в переупорядоченном виде, в соответствии с необязательным возвращаемым значением P. Например, для матрицы A = [1, 2; 3, 4],

[L, U, P] = lu (A)

возвращает

L =

  1.00000  0.00000
  0.33333  1.00000

U =

  3.00000  4.00000
  0.00000  0.66667

P =

  0  1
  1  0

Матрица не обязана быть квадратной.

При вызове с двумя или тремя выходными аргументами и разреженной входной матрицей, lu не пытается выполнить сохраняющие разреженность перестановки столбцов. При вызове с четвёртым выходным аргументом возвращается сохраняющая разреженность преобразование столбцов Q, такое что P * A * Q = L * U. Это предпочтительный способ вызова lu с разреженными входными матрицами.

При вызове с пятым выходным аргументом и разреженной входной матрицей, lu пытается использовать масштабирующий коэффициент R для входной матрицы, так что P * (R \ A) * Q = L * U. Это обычно приводит к более разреженному и более устойчивому разложению.

Можно указать дополнительный входной аргумент thresh, определяющий порог поворота. thresh может быть скаляром, в этом случае он определяет порог поворота UMFPACK для симметричных и несимметричных случаев. Если thresh является вектором из 2 элементов, то первый элемент определяет порог поворота для несимметричной стратегии поворота UMFPACK, а второй - для симметричной. По умолчанию используются значения, определённые в spparms ([0.1, 0.001]).

При передаче строкового аргумента "vector", lu возвращает значения P и Q как векторные значения, так что для полной матрицы A(P,:) = L * U, и R(P,:) * A(:,Q) = L * U.

С двумя выходными аргументами возвращает переупорядоченные формы верхнетреугольной и нижнетреугольной матриц, такие что A = L * U. С одним выходным аргументом y возвращается матрица, возвращаемая подпрограммами LAPACK. Если входная матрица разреженная, то матрица L встраивается в U для получения значения, аналогичного полному случаю. Для полных и разреженных матриц lu теряет информацию о перестановке.

См. также: luupdate, ilu, chol, hess, qr, qz, schur, svd.

: [L, U] = luupdate (L, U, x, y) ¶

: [L, U, P] = luupdate (L, U, P, x, y) ¶

При заданном LU-разложении вещественной или комплексной матрицы A = L*U, L нижняя единичная трапециевидная и U верхняя трапециевидная, вернуть LU-разложение A + x*y.’, где x и y — столбцовые векторы (обновление ранга 1) или матрицы с одинаковым числом столбцов (обновление ранга k).

Необязательно, для обновления с помощью поворота строк, можно использовать матрицу перестановки строк (P); в этом случае возвращается обновленная матрица перестановки. Обратите внимание, что если L, U, P — разложение LU с поворотом, полученное с помощью lu:

[L, U, P] = lu (A);

то разложение A+x*y.' можно получить либо как

[L1, U1] = lu (L, U, P*x, y)

или

[L1, U1, P1] = lu (L, U, P, x, y)

Первый вариант использует неиспользуемый алгоритм, который быстрее, но менее устойчив. Второй вариант использует более медленный алгоритм с поворотом, который более устойчив.

Случай матрицы выполняется как последовательность обновлений ранга 1; таким образом, для достаточно большого k будет быстрее и точнее пересчитать разложение с нуля.

См. также: lu, cholupdate, qrupdate.

: [Q, R] = qr (A) ¶

: [Q, R, P] = qr (A) ¶

: X = qr (A) # non-sparse A ¶

: R = qr (A) # sparse A ¶

: X = qr (A, B) # sparse A ¶

: [C, R] = qr (A, B) ¶

: […] = qr (…, 0) ¶

: […] = qr (…, "econ") ¶

: […] = qr (…, "vector") ¶

: […] = qr (…, "matrix") ¶

Вычислить QR-разложение A, используя стандартные подпрограммы LAPACK.

QR-разложение имеет вид

Q * R = A

где Q — ортогональная матрица, а R — верхняя треугольная матрица.

Например, для матрицы A = [1, 2; 3, 4],

[Q, R] = qr (A)

возвращает

Q =

  -0.31623  -0.94868
  -0.94868   0.31623

R =

  -3.16228  -4.42719
   0.00000  -0.63246

которое при перемножении дают исходную матрицу

Q * R
  ⇒
     1.0000   2.0000
     3.0000   4.0000

Если требуется только один возвращаемый результат, то это либо R, если A разреженная, либо X, такой что R = triu (X) если A плотная. (Примечание: в отличие от большинства команд, единственный возвращаемый результат не является первым возвращаемым значением, когда запрашивается несколько значений.)

Если запрашивается третий выходной параметр P, то qr вычисляет переупорядоченное QR-разложение

Q * R = A * P

где Q — ортогональная матрица, R — верхняя треугольная матрица, а P — матрица перестановок.

Если A плотная, переупорядоченное QR-разложение обладает дополнительным свойством, что диагональные элементы R упорядочены по убыванию величины. Другими словами, abs (diag (R)) будут упорядочены от наибольшего к наименьшему.

Если A разреженная, P — упорядочение столбцов A, уменьшающее заполнение. В этом случае диагональные элементы R не упорядочены по убыванию величины.

Например, для матрицы A = [1, 2; 3, 4],

[Q, R, P] = qr (A)

возвращает

Q =

  -0.44721  -0.89443
  -0.89443   0.44721

R =

  -4.47214  -3.13050
   0.00000   0.44721

P =

   0  1
   1  0

Если входная матрица A разреженная, разреженное QR-разложение вычисляется с использованием SPQR или CXSPARSE (например, если SPQR недоступен). Поскольку матрица Q в общем случае является плотной матрицей, рекомендуется запрашивать только одно возвращаемое значение R. В этом случае вычисление избегает построения Q и возвращает разреженную R такую, что R = chol (A' * A).

Если A плотная, а дополнительно передаётся матрица B, и запрашивается два возвращаемых значения, то qr возвращает C, где C = Q' * B. Это позволяет вычислить приближение наименьших квадратов A \ B как

[C, R] = qr (A, B)
X = R \ C

Если A — разреженная матрица размера MxN и дополнительно передаётся матрица B, возможны одно или два возвращаемых значения. Если запрашивается одно возвращаемое значение X и M < N, то X — решение с минимальной 2-нормой A \ B. Если M ≥ N, X — приближение наименьших квадратов A \ B. Если запрашивается два возвращаемых значения, C и R имеют тот же смысл, что и в плотном случае (C плотная, а R разреженная). Версия с одним возвращаемым параметром предпочтительнее, поскольку она использует меньше памяти и лучше обрабатывает матрицы с вырожденным рангом.

Если последним аргументом является строка "vector" , то P — вектор перестановок (столбцов A) вместо матрицы перестановок. В этом случае определяющее соотношение имеет вид:

Q * R = A(:, P)

Однако по умолчанию возвращается матрица перестановок, что может быть явно указано, используя последний аргумент "matrix".

Если последним аргументом является скаляр 0 или строка "econ", возвращается экономичное разложение. Если исходная матрица A имеет размер MxN и M > N, то экономичное разложение вычислит только N строк в R и N столбцов в Q и опустит нули в R. Если M ≤ N, то нет различий между экономичным и стандартным разложениями. При вычислении экономичного разложения и A плотной, выходной параметр P всегда является вектором, а не матрицей. Если A разреженная, выходной параметр P — разреженная матрица перестановок.

Предыстория: QR-разложение применяется для решения задач наименьших квадратов

min norm (A*x - b)

для переопределённых систем уравнений (т.е. A — высокая, узкая матрица).

Переупорядоченное QR-разложение [Q, R, P] = qr (A) позволяет построить ортогональную базу span (A).

См. также: chol, hess, lu, qz, schur, svd, qrupdate, qrinsert, qrdelete, qrshift.

: [Q1, R1] = qrupdate (Q, R, u, v) ¶

Обновление QR-разложения, заданного векторами или матрицами-обновлениями.

Дано QR-разложение вещественной или комплексной матрицы A = Q*R, Q унитарная и R верхняя трапециевидная, вернуть QR-разложение A + u*v’, где u и v — столбцовые векторы (обновление ранга-1) или матрицы с одинаковым числом столбцов (обновление ранга-k). Обратите внимание, что последний случай выполняется как последовательность обновлений ранга-1; поэтому для достаточно большого k будет быстрее и точнее повторно вычислить разложение с нуля.

Поставляемое QR-разложение может быть полным (Q квадратная) или экономичным (R квадратная).

См. также: qr, qrinsert, qrdelete, qrshift.

: [Q1, R1] = qrinsert (Q, R, j, x, orient) ¶

Обновление QR-разложения, заданного строкой или столбцом для вставки в исходную факторизованную матрицу.

Дано QR-разложение вещественной или комплексной матрицы A = Q*R, Q унитарная и R верхняя трапециевидная, вернуть QR-разложение [A(:,1:j-1) x A(:,j:n)], где u — столбцовый вектор, подлежащий вставке в A (если orient есть "col"), или QR-разложение [A(1:j-1,:);x;A(:,j:n)], где x — строковый вектор, подлежащий вставке в A (если orient есть "row").

Значение по умолчанию для orient есть "col". Если orient есть "col", u может быть матрицей, а j — вектором индексов, что приводит к QR-разложению матрицы B такой, что B(:,j) даёт u, а B(:,j) = [] даёт A. Обратите внимание, что последний случай выполняется как последовательность k вставок; поэтому для достаточно большого k будет быстрее и точнее повторно вычислить разложение с нуля.

Если orient есть "col", поставляемое QR-разложение может быть полным (Q квадратная) или экономичным (R квадратная).

Если orient есть "row", необходимо полное разложение.

См. также: qr, qrupdate, qrdelete, qrshift.

: [Q1, R1] = qrdelete (Q, R, j, orient) ¶

Обновление QR-разложения, заданного строкой или столбцом для удаления из исходной факторизованной матрицы.

Дано QR-разложение вещественной или комплексной матрицы A = Q*R, Q унитарная и R верхняя трапециевидная, вернуть QR-разложение [A(:,1:j-1), U, A(:,j:n)], где u — столбцовый вектор, подлежащий вставке в A (если orient есть "col"), или QR-разложение [A(1:j-1,:);X;A(:,j:n)], где x — строковый вектор (если orient есть "row"). Значение по умолчанию для orient есть "col".

Если orient есть "col", j может быть вектором индексов, что приводит к QR-разложению матрицы B такой, что A(:,j) = [] даёт B. Обратите внимание, что последний случай выполняется как последовательность k удалений; поэтому для достаточно большого k будет быстрее и точнее повторно вычислить разложение с нуля.

Если orient есть "col", поставляемое QR-разложение может быть полным (Q квадратная) или экономичным (R квадратная).

Если orient есть "row", необходимо полное разложение.

См. также: qr, qrupdate, qrinsert, qrshift.

: [Q1, R1] = qrshift (Q, R, i, j) ¶

Обновить QR-разложение, сдвинув заданный диапазон столбцов в исходной факторизованной матрице.

Дано QR-разложение вещественной или комплексной матрицы A = Q*R, где Q унитарна, а R верхняя трапециевидная, вернуть QR-разложение A(:,p), где p — перестановка
p = [1:i-1, shift(i:j, 1), j+1:n] если i < j
или
p = [1:j-1, shift(j:i,-1), i+1:n] если j < i.

См. также: qr, qrupdate, qrinsert, qrdelete.

: lambda = qz (A, B) ¶

: [AA, BB, Q, Z, V, W, lambda] = qz (A, B) ¶

: [AA, BB, Z] = qz (A, B, opt) ¶

: [AA, BB, Z, lambda] = qz (A, B, opt) ¶

Вычислить QZ-разложение для задачи обобщенных собственных значений.

Задача обобщенных собственных значений определяется как

A x = lambda B x

Функция имеет три варианта вызова:

1. lambda = qz (A, B)

   Вычислить обобщенные собственные значения lambda.

2. [AA, BB, Q, Z, V, W, lambda] = qz (A, B)

   Вычислить QZ-разложение, обобщенные собственные векторы и обобщенные собственные значения.

   AA = Q * A * Z, BB = Q * B * Z
   A * V = B * V * diag (lambda)
   W' * A = diag (lambda) * W' * B

   причем Q и Z ортогональны (унитарны для комплексного случая).

3. [AA, BB, Z {, lambda}] = qz (A, B, opt)

   Как в форме 2 выше, но позволяет упорядочить пары обобщенных собственных векторов, например, для решения алгебраических уравнений Риккати в дискретном времени. Форма 3 недоступна для комплексных матриц и не вычисляет обобщенные собственные векторы V, W, а также ортогональную матрицу Q.

   opt

   для упорядочивания собственных значений задачи обобщенных собственных значений. Ведущий блок переработанного делителя содержит все собственные значения, удовлетворяющие:

   "N"

   неупорядоченные (по умолчанию)

   "S"

   малые: ведущий блок содержит все |lambda| < 1

   "B"

   большие: ведущий блок содержит все |lambda| ≥ 1

   "-"

   отрицательная вещественная часть: ведущий блок содержит все собственные значения в открытой левой полуплоскости

   "+"

   неотрицательная вещественная часть: ведущий блок содержит все собственные значения в замкнутой правой полуплоскости

Примечание: qz выполняет перестановку балансировки, но не масштабирование (см. balance), что может привести к менее точным результатам, чем eig. Порядок выходных аргументов был выбран для совместимости с MATLAB.

См. также: eig, gsvd, balance, chol, hess, lu, qr, qzhess, schur.

: [aa, bb, q, z] = qzhess (A, B) ¶

Вычислить гэссенберго-треугольное разложение матричного делителя (A, B), возвращая aa = q * A * z, bb = q * B * z, при этом q и z ортогональны.

Например:

[aa, bb, q, z] = qzhess ([1, 2; 3, 4], [5, 6; 7, 8])
  ⇒ aa =
      -3.02244  -4.41741
       0.92998   0.69749
  ⇒ bb =
      -8.60233  -9.99730
       0.00000  -0.23250
  ⇒ q =
      -0.58124  -0.81373
      -0.81373   0.58124
  ⇒ z =
     Diagonal Matrix
       1   0
       0   1

Гэссенберго-треугольное разложение является первым шагом в алгоритме QZ-разложения Молера и Стюарта.

Алгоритм взят из книги Голуба и Ван Лоана, Матричные вычисления, 2-е издание.

См. также: lu, chol, hess, qr, qz, schur, svd.

: S = schur (A) ¶

: S = schur (A, "real") ¶

: S = schur (A, "complex") ¶

: S = schur (A, opt) ¶

: [U, S] = schur (…) ¶

Вычислить шур-разложение A.

Шур-разложение квадратной матрицы A определяется как

S = U' * A * U

где U — унитарная матрица (U'* U — единичная матрица), а S — верхняя треугольная матрица. Собственные значения A (и S) — это диагональные элементы S. Если матрица A вещественная, то вычисляется вещественное шур-разложение, в котором матрица U ортогональна, а S — блочно-верхняя треугольная матрица с блоками размером не более 2 x 2 вдоль диагонали.

По умолчанию для вещественных матриц используется вещественное шур-разложение. Комплексное разложение можно принудительно задать, передав флаг "complex".

Собственные значения упорядочиваются вдоль диагонали в соответствии со значением opt:

opt = "a"

Переместить собственные значения с отрицательной вещественной частью в ведущий блок S. Мnemonic: "a" для алгебраических уравнений Риккати, где это упорядочивание полезно.

opt = "d"

Переместить собственные значения с модулем меньше единицы в ведущий блок S. Мnemonic: "d" для дискретных алгебраических уравнений Риккати, где это упорядочивание полезно.

opt = "u"

Неупорядоченные. Нет конкретного порядка собственных значений (по умолчанию).

Ведущие k столбцов U всегда охватывают подпространство, инвариантное к A, соответствующее k ведущим собственным значениям S.

См. также: rsf2csf, ordschur, ordeig, lu, chol, hess, qr, qz, svd, eig.

: [U, T] = rsf2csf (UR, TR) ¶

Преобразовать вещественную верхнюю квазитреугольную шур-форму TR в комплексную верхнюю треугольную шур-форму T.

Обратите внимание, что выполняются следующие соотношения:

UR * TR * UR' = U * T * U' и U' * U является единичной матрицей I.

Обратите также внимание, что U и T не уникальны.

См. также: schur.

: [UR, SR] = ordschur (U, S, select) ¶

Переупорядочить вещественное шур-разложение (U,S), полученное с помощью функции schur, так, чтобы выбранные собственные значения отобразились в верхних левых диагональных блоках квазитреугольной шур-матрицы.

Логический вектор select указывает на выбранные собственные значения, как они появляются вдоль диагонали S.

Например, для матрицы A = [1, 2; 3, 4], и ее шур-разложения

[U, S] = schur (A)

что возвращает

U =

  -0.82456  -0.56577
   0.56577  -0.82456

S =

  -0.37228  -1.00000
   0.00000   5.37228

Можно переупорядочить разложение, чтобы положительное собственное значение оказалось в верхнем левом углу, выполнив:

[U, S] = ordschur (U, S, [0,1])

См. также: schur, ordeig, ordqz.

: [AR, BR, QR, ZR] = ordqz (AA, BB, Q, Z, keyword) ¶

: [AR, BR, QR, ZR] = ordqz (AA, BB, Q, Z, select) ¶

Переупорядочить QZ-разложение задачи о собственных значениях обобщённой задачи.

Обобщённая задача о собственных значениях определяется как

A x = lambda B x

Её обобщённое разложение Шура вычисляется с использованием алгоритма qz:

[AA, BB, Q, Z] = qz (A, B)

где AA, BB, Q и Z удовлетворяют

AA = Q * A * Z, BB = Q * B * Z

Функция ordqz вычисляет унитарное преобразование QR и ZR таким образом, чтобы изменить порядок собственного значения на диагонали AA и BB. Результирующие переупорядоченные матрицы AR и BR удовлетворяют:

AR = QR * A * ZR, BR = QR * B * ZR

Функцию можно вызвать с аргументом keyword, который выбирает собственные значения в левом верхнем блоке AR и BR следующим образом:

"S", "udi"

small: ведущий блок содержит все |lambda| < 1

"B", "udo"

big: ведущий блок содержит все |lambda| ≥ 1

"-", "lhp"

отрицательная вещественная часть: ведущий блок содержит все собственные значения в открытой левой полуплоскости

"+", "rhp"

неотрицательная вещественная часть: ведущий блок содержит все собственные значения в замкнутой правой полуплоскости

Если вместо ключевого слова задан логический вектор select, функция ordqz переупорядочивает все собственные значения k в левый блок, для которых select(k) истинно.

Примечание: Ключевые слова совместимы с теми, которые используются в qr.

См. также: eig, ordeig, qz, schur, ordschur.

: lambda = ordeig (A) ¶

: lambda = ordeig (A, B) ¶

Возвращает собственные значения квазитреугольных матриц в порядке их появления в матрице A.

Квазитреугольная матрица A обычно является результатом факторизации Шура. Если вызывается со вторым входным параметром B, то обобщённые собственные значения пары A, B возвращаются в порядке появления матрицы A-lambda*B. Пара A, B обычно является результатом QZ-разложения.

См. также: ordschur, ordqz, eig, schur, qz.

: angle = subspace (A, B) ¶

Определяет наибольший главный угол между двумя подпространствами, охватываемыми столбцами матриц A и B.

: s = svd (A) ¶

: [U, S, V] = svd (A) ¶

: [U, S, V] = svd (A, "econ") ¶

: [U, S, V] = svd (A, 0) ¶

Вычислить сингулярное разложение A.

Сингулярное разложение определяется соотношением

A = U*S*V'

Функция svd обычно возвращает только вектор сингулярных значений. При вызове с тремя значениями возврата она вычисляет U, S и V. Например,

svd (hilb (3))

возвращает

ans =

  1.4083189
  0.1223271
  0.0026873

и

[u, s, v] = svd (hilb (3))

возвращает

u =

  -0.82704   0.54745   0.12766
  -0.45986  -0.52829  -0.71375
  -0.32330  -0.64901   0.68867

s =

  1.40832  0.00000  0.00000
  0.00000  0.12233  0.00000
  0.00000  0.00000  0.00269

v =

  -0.82704   0.54745   0.12766
  -0.45986  -0.52829  -0.71375
  -0.32330  -0.64901   0.68867

Если второй аргумент не равен 0, то svd возвращает экономичное разложение, исключая ненужные строки или столбцы U или V.

Если второй аргумент равен ровно 0, то выбор разложения основан на матрице A. Если в A строк больше, чем столбцов, то возвращается экономичное разложение, иначе вычисляется обычное разложение.

Примечания к алгоритму: При вычислении полного разложения (левых и правых сингулярных матриц, а также сингулярных значений) в LAPACK есть выбор из двух процедур. По умолчанию Octave использует процедуру gesvd. Альтернатива — gesdd, которая в 5 раз быстрее, но может использовать больше памяти и быть неточной для некоторых входных матриц. Существует третья процедура gejsv, подходящая для лучшей точности при экстремальных масштабах. См. документацию для svd_driver для получения дополнительной информации о выборе драйвера.

См. также: svd_driver, svds, eig, lu, chol, hess, qr, qz.

: val = svd_driver () ¶

: old_val = svd_driver (new_val) ¶

: old_val = svd_driver (new_val, "local") ¶

Запрос или установка базового драйвера LAPACK, используемого svd.

В настоящее время распознаются значения "gesdd", "gesvd", и "gejsv". По умолчанию используется "gesvd".

При вызове изнутри функции с опцией "local", переменная изменяется локально для функции и всех вызываемых ею подпрограмм. Исходное значение переменной восстанавливается при выходе из функции.

Примечания к алгоритму: Процедуры библиотеки LAPACK gesvd и gesdd различаются только при вычислении полного сингулярного разложения (левых и правых сингулярных матриц, а также сингулярных значений). При вычислении только сингулярных значений обсуждение ниже не актуально.

Новая процедура gesdd основана на алгоритме "Разделяй и властвуй", который в 5 раз быстрее, чем альтернатива gesvd, основанная на факторизации QR. Однако новый алгоритм может использовать значительно больше памяти. Для входной матрицы MxN размер памяти составляет O(min(M,N) ^ 2), в то время как альтернатива — O(max(M,N)).

Процедура gejsv использует алгоритм сингулярного разложения Якоби с предварительным условием. В отличие от gesvd и gesdd, в gejsv, нет шага бидиагонализации, который мог бы загрязнять точность в некоторых крайних случаях. Кроме того, gejsv известен как оптимально точный в некотором смысле. Однако скорость медленнее (основан на однопоточной реализации) и использует больше памяти (O(min(M,N) ^ 2 + M + N)).

Помимо проблем со скоростью и памятью, были случаи, когда некоторые входные матрицы не были точно разложены gesdd. См. текущую ошибку https://savannah.gnu.org/bugs/?55564. Пока проблемы точности не будут решены в новой версии библиотеки LAPACK, драйвер по умолчанию в Octave установлен на "gesvd".

См. также: svd.

: [housv, beta, zer] = housh (x, j, z) ¶

Вычислить вектор отражения Хаусхолдера housv для отражения x в j-ый столбец единичной матрицы, т.е.

(I - beta*housv*housv')x =  norm (x)*e(j) if x(j) < 0,
(I - beta*housv*housv')x = -norm (x)*e(j) if x(j) >= 0

Входы

x

вектор

j

индекс в векторе

z

порог для нуля (обычно должно быть равно 0)

Выходы (см. Голуб и Ван Лоан):

beta

Если beta = 0, то отражение не требуется (zer установлено в 0)

housv

вектор Хаусхолдера

: [u, h, nu] = krylov (A, V, k, eps1, pflg) ¶

Построить ортогональную базу u блочного подпространства Крёлова.

Блочное подпространство Крёлова имеет следующий вид:

[v a*v a^2*v … a^(k+1)*v]

Построение выполняется с помощью отражений Хаусхолдера для защиты от потери ортогональности.

Если V - вектор, то h содержит матрицу Хессенберга, такую что a*u == u*h+rk*ek', в которой rk = a*u(:,k)-u*h(:,k), и ek' является вектором [0, 0, …, 1] длины k. В противном случае h не имеет смысла.

Если V - вектор, и k больше length (A) - 1, то h содержит матрицу Хессенберга, такую что a*u == u*h.

Значение nu - это размерность размаха подпространства Крёлова (на основе eps1).

Если b - вектор, и k больше m-1, то h содержит матрицу Хессенберга, которая является разложением матрицы A.

Необязательный параметр eps1 - порог для нуля. Значение по умолчанию - 1e-12.

Если необязательный параметр pflg отличен от нуля, используется строчный поворот для улучшения числовой устойчивости. Значение по умолчанию - 0.

Ссылка: A. Hodel, P. Misra, Частичный поворот при вычислении подпространств Крёлова для больших разреженных систем, Труды 42-й конференции IEEE по принятию решений и управлению, декабрь 2003 г.