20.2 Минимизаторы

Часто бывает полезно найти минимальное значение функции, а не только нули, где она пересекает ось x. fminbnd предназначен для более простого, но очень распространённого случая унивариантной функции, где интервал поиска ограничен. Для неограниченной минимизации функции с потенциально многими переменными используйте fminunc или fminsearch. Эти две функции используют разные внутренние алгоритмы, и требуются некоторые знания о целевой функции. Для функций, которые могут быть продифференцированы, fminunc подходит. Для функций с разрывами или для которых поиск градиента потерпит неудачу, используйте fminsearch. См. Оптимизация для минимизации при наличии функций ограничений. Обратите внимание, что поиск максимумов можно выполнить, просто инвертировав целевую функцию (Fto_max = -Fto_min).

: x = fminbnd (fcn, a, b) ¶

: x = fminbnd (fcn, a, b, options) ¶

: [x, fval, info, output] = fminbnd (…) ¶

Найти точку минимума унивариантной функции.

fcn — это дескриптор функции, встроенная функция или строка, содержащая имя функции для вычисления.

Начальный интервал задаётся a (левая граница) и b (правая граница). Концы интервала должны быть конечными.

options — это структура, задающая дополнительные параметры, которые контролируют алгоритм. В настоящее время fminbnd распознаёт эти параметры: "Display", "FunValCheck", "MaxFunEvals", "MaxIter", "OutputFcn", "TolX".

"MaxFunEvals" задаёт максимальное количество вычислений функции перед прерыванием оптимизации. Значение по умолчанию — 500. Значение должно быть положительным целым числом.

"MaxIter" задаёт максимальное количество итераций алгоритма перед прерыванием оптимизации. Значение по умолчанию — 500. Значение должно быть положительным целым числом.

"TolX" задаёт толерантность для решения x. Значение по умолчанию — 1e-4.

Описание других параметров см. в optimset. Чтобы инициализировать структуру параметров с значениями по умолчанию для fminbnd, используйте options = optimset ("fminbnd").

При выходе функция возвращает x, приближённую точку минимума, и fval, значение функции в точке x.

Третий выходной параметр info указывает, был ли достигнут успех алгоритма и может принимать одно из следующих значений:

• 1 Алгоритм сошёлся к решению.
• 0 Превышен предел итераций (либо MaxIter, либо MaxFunEvals).
• -1 Алгоритм был прерван пользователем OutputFcn.

Примечания по программированию: Поиск минимума ограничен конечным интервалом, ограниченным a и b. Если у вас есть только одна начальная точка для начала поиска, вам необходимо использовать алгоритм минимизации без ограничений, такой как fminunc или fminsearch. fminbnd внутренне использует стратегию поиска золотого сечения.

См. также: fzero, fminunc, fminsearch, optimset.

: x = fminunc (fcn, x0) ¶

: x = fminunc (fcn, x0, options) ¶

: [x, fval] = fminunc (fcn, …) ¶

: [x, fval, info] = fminunc (fcn, …) ¶

: [x, fval, info, output] = fminunc (fcn, …) ¶

: [x, fval, info, output, grad] = fminunc (fcn, …) ¶

: [x, fval, info, output, grad, hess] = fminunc (fcn, …) ¶

Решение задачи безусловной оптимизации, определённой функцией fcn.

fminunc пытается определить вектор x такой, что fcn (x) является локальным минимумом.

fcn — это дескриптор функции, встроенная функция или строка, содержащая имя функции для вычисления. fcn должен принимать вектор (массив), определяющий неизвестные переменные, и возвращать значение целевой функции, необязательно с градиентом.

x0 определяет начальное предположение. Форма x0 сохраняется во всех вызовах fcn, но в противном случае обрабатывается как столбец.

options — это структура, задающая дополнительные параметры, которые контролируют алгоритм. В настоящее время fminunc распознаёт эти параметры: "AutoScaling", "FinDiffType", "FunValCheck", "GradObj", "MaxFunEvals", "MaxIter", "OutputFcn", "TolFun", "TolX", "TypicalX".

Если "AutoScaling" равно "on", переменные будут автоматически масштабированы в соответствии с нормой столбцов (оценённой) матрицы Якоби. В результате "TolFun" становится независимой от масштаба. По умолчанию этот параметр "off" потому, что иногда он может давать неожиданные (хотя математически правильные) результаты.

Если "GradObj" равно "on", это означает, что fcn (при вызове с двумя выходными параметрами) также возвращает матрицу Якоби частных производных первого порядка в указанной точке.

"MaxFunEvals" задаёт максимальное количество вычислений функции перед прерыванием оптимизации. Значение по умолчанию — 100 * number_of_variables, т. е. 100 * length (x0). Значение должно быть положительным целым числом.

"MaxIter" задаёт максимальное количество итераций алгоритма перед прерыванием оптимизации. Значение по умолчанию — 400. Значение должно быть положительным целым числом.

"TolX" задаёт толерантность для неизвестных переменных x, а "TolFun" — толерантность для значения целевой функции fval. По умолчанию для обоих параметров значение — 1e-6.

Описание других параметров см. в optimset.

При возвращении x — это местоположение минимума, а fval содержит значение целевой функции в точке x.

info может принимать одно из следующих значений:

1

Сошёлся к точке решения. Относительная ошибка градиента меньше, чем задано в TolFun.

2

Последний относительный размер шага меньше TolX.

3

Последнее относительное изменение значения функции меньше TolFun.

0

Превышен предел итераций — либо максимальное число итераций алгоритма MaxIter, либо максимальное число вычислений функции MaxFunEvals.

-1

Алгоритм был прерван OutputFcn.

-3

Радиус области доверия стал чрезмерно мал.

Необязательно, fminunc может возвращать структуру со статистикой сходимости (output), градиент выхода (grad) в решении x и приближённую матрицу Гессе (hess) в решении x.

Примечания к применению: Если целевая функция является одним нелинейным уравнением одной переменной, то использование fminbnd обычно является лучшим выбором.

Алгоритм, используемый fminunc, — это градиентный поиск, который зависит от дифференцируемости целевой функции. Если функция имеет разрывы, может быть лучше использовать алгоритм без производных, например, fminsearch.

См. также: fminbnd, fminsearch, optimset.

: x = fminsearch (fcn, x0) ¶

: x = fminsearch (fcn, x0, options) ¶

: x = fminsearch (problem) ¶

: [x, fval, exitflag, output] = fminsearch (…) ¶

Найти значение x, которое минимизирует многомерную функцию fcn.

fcn — это обработчик функции, встроенная функция или строка, содержащая имя функции для вычисления.

Поиск начинается в точке x0 и выполняется с использованием алгоритма простых симплексов Нелдера и Мида (метод, не требующий вычисления производных). Этот алгоритм лучше подходит для функций, имеющих разрывы или для которых поиск с использованием градиента, например fminunc , не срабатывает.

Параметры поиска задаются в параметре options с использованием функции optimset. В настоящее время fminsearch принимает параметры: "Display", "FunValCheck", "MaxFunEvals", "MaxIter", "OutputFcn", "TolFun", "TolX".

"MaxFunEvals" определяет максимальное количество вычислений функции перед остановкой оптимизации. Значение по умолчанию равно 200 * number_of_variables, то есть 200 * length (x0). Значение должно быть положительным целым числом.

"MaxIter" определяет максимальное количество итераций алгоритма перед остановкой оптимизации. Значение по умолчанию равно 200 * number_of_variables, то есть 200 * length (x0). Значение должно быть положительным целым числом.

Описание других параметров см. в optimset. Для инициализации структуры параметров со значениями по умолчанию для fminsearch используйте options = optimset ("fminsearch").

fminsearch также может быть вызван с одним структурным аргументом со следующими полями:

objective

Функция цели.

x0

Начальная точка.

solver

Должно быть установлено в "fminsearch".

options

Структура, возвращенная из optimset или пустая матрица, чтобы указать, что следует использовать значения по умолчанию.

Поле options является необязательным. Все остальные обязательны.

При выходе функция возвращает x — точку минимума и fval — значение функции в точке минимума.

Третий выход exitflag сообщает о успешном выполнении алгоритма и может принимать одно из следующих значений:

1

если алгоритм сошелся (размер симплекса меньше, чем TolX **И** шаг изменения значения функции между итерациями меньше, чем TolFun).

0

если превышено максимальное количество итераций или максимальное количество вычислений функции.

-1

если итерация остановлена "OutputFcn".

Четвертый выход — структура output, содержащая данные о работе алгоритма. Поля в структуре — funcCount (количество вызовов функции fcn), iterations (количество шагов итерации), algorithm (имя алгоритма поиска — всегда "Nelder-Mead simplex direct search"), и message (сообщение об выходе).

Пример:

fminsearch (@(x) (x(1)-5).^2+(x(2)-8).^4, [0;0])

Примечание: Если вам нужно найти минимум функции одной переменной, вероятно, лучше использовать fminbnd.

См. также: fminbnd, fminunc, optimset.

Функция humps полезна для тестирования функций поиска нулей и экстремумов.

: y = humps (x) ¶

: [x, y] = humps (x) ¶

Вычислить функцию с несколькими минимумами, максимумами и нулями.

Выход y — это значение рациональной функции:

1200*x^4 - 2880*x^3 + 2036*x^2 - 348*x - 88
 y = - ---------------------------------------------
         200*x^4 - 480*x^3 + 406*x^2 - 138*x + 17

x может быть скаляром, вектором или массивом. Если x опущено, используется диапазон по умолчанию [0:0.05:1].

При вызове с двумя выходными аргументами [x, y], x будет содержать входные значения, а y — результат вычисления humps.

Примечания к программированию: humps имеет две локальные максимальные точки, расположенные около x = 0.300 и 0.893, локальный минимум около x = 0.637 и нули около x = -0.132 и 1.300. humps — полезная функция для проверки алгоритмов поиска нулей, локальных минимумов и максимумов.

Попробуйте demo humps чтобы увидеть график функции humps.

См. также: fzero, fminbnd, fminunc, fminsearch.