21.5 Различия в обработке нулевых элементов

Превращение диагональных и перестановочных матриц в особые объекты матриц, а также использование более интеллектуальных алгоритмов для определенных операций подразумевает, как побочный эффект, небольшие различия в обработке нулей. Содержание этого раздела также относится к разреженным матрицам, обсуждаемым в следующей главе. (см. Разреженные матрицы)

Стандарт IEEE для чисел с плавающей точкой определяет результат выражений 0*Inf и 0*NaN как NaN. Это общепризнано как хорошее компромиссное решение. Программное обеспечение для работы со структурированными и разреженными матрицами (включая Octave) практически всегда проводит различие между «числовым нулем» и «предполагаемым нулем». «Числовой ноль» — это нулевое значение, встречающееся в месте, где может находиться любое значение с плавающей точкой. Он обычно хранится где-то в памяти в виде явного значения. «Предполагаемый ноль», наоборот, — это нулевой элемент матрицы, подразумеваемый структурой матрицы (диагональной, треугольной) или структурой разреженности; его значение обычно не хранится явно, а подразумевается базовой структурой данных.

Основное отличие заключается в том, что предполагаемый ноль, умноженный на любое число или деленный на любое ненулевое число, всегда дает ноль, даже если, например, он умножен на Inf или делен на NaN. Причина такого поведения заключается в том, что алгоритм не выполняет фактическое численное умножение; результат просто предполагается нулевым. Аналогично, можно сказать, что часть вычислений, включающая предполагаемые нули, выполняется символически, а не численно.

Это поведение не только способствует наиболее прямому и эффективному выполнению алгоритмов, но также сохраняет определенные полезные инварианты, такие как:

• скаляр * диагональная матрица — диагональная матрица
• разреженная матрица / скаляр сохраняет структуру разреженности
• перестановочная матрица * матрица эквивалентна перестановке строк

все эти естественные математические истины были бы недействительными, если бы предполагаемые нули рассматривались как числовые.

Обратите внимание, что MATLAB не строго следует этому принципу и в некоторых случаях преобразует предполагаемые нули в числовые нули, в то время как в других случаях этого не делает. По состоянию на сегодня нет намерений имитировать такое поведение в Octave.

Примеры влияния предполагаемых нулей по сравнению с числовыми нулями:

Inf * eye (3)
⇒
   Inf     0     0
     0   Inf     0
     0     0   Inf

Inf * speye (3)
⇒
Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 3 [33%])

  (1, 1) -> Inf
  (2, 2) -> Inf
  (3, 3) -> Inf

Inf * full (eye (3))
⇒
   Inf   NaN   NaN
   NaN   Inf   NaN
   NaN   NaN   Inf

diag (1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3

sparse (1:3,1:3,1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3
[1,0,0;0,2,0;0,0,3] * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
   NaN
   NaN