cmath — Математические функции для комплексных чисел

Преобразования в полярные и из полярных координат

Комплексное число Python z хранится внутри, используя прямоугольные или декартовы координаты. Оно полностью определяется своей вещественной частью z.real и своей мнимой частью z.imag.

Полярные координаты дают альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число z определяется модулем r и углом фазы phi. Модуль r — это расстояние от z до начала координат, а фаза phi — это угол против часовой стрелки, измеренный в радианах, от положительной оси x до отрезка прямой, соединяющего начало координат с z.

Следующие функции могут быть использованы для преобразования из родных прямоугольных координат в полярные и обратно.

cmath.phase(x)

Возвращает фазу x (также известную как аргумент x), как число с плавающей точкой. phase(x) эквивалентно math.atan2(x.imag, x.real). Результат находится в диапазоне [-π, π], и разрыв ветви для этой операции лежит вдоль отрицательной вещественной оси. Знак результата совпадает со знаком x.imag, даже когда x.imag равно нулю:

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

cmath.polar(x)

Возвращает представление x в полярных координатах. Возвращает пару (r, phi) , где r — модуль x, а phi — фаза x. polar(x) эквивалентно (abs(x), phase(x)).

cmath.rect(r, phi)

Возвращает комплексное число x с полярными координатами r и phi. Эквивалентно complex(r * math.cos(phi), r * math.sin(phi)).

Функции степени и логарифмы

cmath.exp(x)

Возвращает e в степени x, где e — основание натуральных логарифмов.

cmath.log(x[, base])

Возвращает логарифм x по заданному основанию. Если основание не указано, возвращает натуральный логарифм x. Есть один разрыв ветви, от 0 вдоль отрицательной вещественной оси до -∞.

cmath.log10(x)

Возвращает десятичный логарифм x. У него такой же разрыв ветви, как у log().

cmath.sqrt(x)

Возвращает квадратный корень из x. У него такой же разрыв ветви, как у log().

Тригонометрические функции

cmath.acos(x)

Возвращает арккосинус x. Есть два разрыва ветвей: Один простирается вправо от 1 вдоль вещественной оси до ∞. Другой простирается влево от -1 вдоль вещественной оси до -∞.

cmath.asin(x)

Возвращает арксинус x. У него такие же разрывы ветвей, как у acos().

cmath.atan(x)

Возвращает арктангенс x. Есть два разрыва ветвей: Один простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j. Другой простирается от -1j вдоль мнимой оси до -∞j.

cmath.cos(x)

Возвращает косинус x.

cmath.sin(x)

Возвращает синус x.

cmath.tan(x)

Возвращает тангенс x.

Гиперболические функции

cmath.acosh(x)

Возвращает обратную гиперболическую косинус x. Есть один разрыв ветви, простирающийся влево от 1 вдоль вещественной оси до -∞.

cmath.asinh(x)

Возвращает обратный гиперболический синус x. Есть два разрыва ветвей: Один простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j. Другой простирается от -1j вдоль мнимой оси до -∞j.

cmath.atanh(x)

Возвращает обратный гиперболический тангенс x. Есть два разрыва ветвей: Один простирается от 1 вдоль вещественной оси до ∞. Другой простирается от -1 вдоль вещественной оси до -∞.

cmath.cosh(x)

Возвращает гиперболический косинус x.

cmath.sinh(x)

Возвращает гиперболический синус x.

cmath.tanh(x)

Возвращает гиперболический тангенс x.

Функции классификации

cmath.isfinite(x)

Возвращает True, если как действительная, так и мнимая части x конечны, и False в противном случае.

Добавлена в версии 3.2.

cmath.isinf(x)

Возвращает True, если либо действительная, либо мнимая часть x представляет собой бесконечность, и False в противном случае.

cmath.isnan(x)

Возвращает True, если либо действительная, либо мнимая часть x является NaN, и False в противном случае.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

Возвращает True, если значения a и b близки друг к другу, и False в противном случае.

Определение близости двух значений производится в соответствии с заданными абсолютной и относительной погрешностями. Если ошибки не возникли, результат будет: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

rel_tol — относительная погрешность. Это максимальное допустимое различие между a и b, относительное к большему по абсолютному значению из a или b. Например, чтобы установить погрешность в 5%, передайте rel_tol=0.05. По умолчанию погрешность равна 1e-09, что гарантирует, что два значения совпадают с точностью до примерно 9 десятичных знаков. rel_tol должна быть неотрицательной и меньше 1.0.

abs_tol — абсолютная погрешность; по умолчанию она равна 0.0 и должна быть неотрицательной. При сравнении x с 0.0, isclose(x, 0) вычисляется как abs(x) <= rel_tol  * abs(x), что составляет False для любого x и rel_tol меньше 1.0. Поэтому добавьте соответствующий положительный аргумент abs_tol в вызов.

Специальные значения IEEE 754 — NaN, inf, и -inf — обрабатываются в соответствии с правилами IEEE. В частности, NaN не считается близким ни к какому другому значению, включая NaN . inf и -inf считаются близкими только к себе.

Добавлена в версии 3.5.

См. также

PEP 485 — функция для проверки приблизительного равенства

Константы

cmath.pi

Математическая константа π в виде числа с плавающей точкой.

cmath.e

Математическая константа e в виде числа с плавающей точкой.

cmath.tau

Математическая константа τ в виде числа с плавающей точкой.

Добавлена в версии 3.6.

cmath.inf

Положительная бесконечность с плавающей точкой. Эквивалентно float('inf').

Добавлена в версии 3.6.

cmath.infj

Комплексное число с нулевой действительной частью и положительной бесконечностью мнимой части. Эквивалентно complex(0.0, float('inf')).

Добавлена в версии 3.6.

cmath.nan

Значение с плавающей точкой «не число» (NaN). Эквивалентно float('nan').

Добавлена в версии 3.6.

cmath.nanj

Комплексное число с нулевой действительной частью и NaN мнимой частью. Эквивалентно complex(0.0, float('nan')).

Добавлена в версии 3.6.

Обратите внимание, что выбор функций аналогичен, но не идентичен, выбору в модуле math. Причина наличия двух модулей заключается в том, что некоторые пользователи не заинтересованы в комплексных числах и, возможно, даже не знают, что это такое. Они предпочтут, чтобы math.sqrt(-1) вызывал исключение, а не возвращал комплексное число. Также обратите внимание, что функции, определённые в cmath, всегда возвращают комплексное число, даже если ответ может быть выражен как действительное число (в этом случае комплексное число имеет мнимую часть, равную нулю).

Замечание о разрывах ветвей: Это кривые, вдоль которых данная функция не является непрерывной. Это необходимая особенность многих комплексных функций. Предполагается, что если вам нужно вычислять с комплексными функциями, вы будете понимать разрывы ветвей. Обратитесь практически к любой (не слишком элементарной) книге по комплексным переменным для получения разъяснений. Для получения информации о правильном выборе разрывов ветвей для численных целей хорошей ссылкой должна служить следующая: