cmath — Математические функции для комплексных чисел

Этот модуль всегда доступен. Он предоставляет доступ к математическим функциям для комплексных чисел. Функции в этом модуле принимают целые числа, числа с плавающей точкой или комплексные числа в качестве аргументов. Они также примут любой объект Python, у которого есть метод __complex__() или метод __float__(): эти методы используются для преобразования объекта в комплексное или число с плавающей точкой соответственно, и затем функция применяется к результату преобразования.

1. Преобразования в полярные и из полярных координат

Комплексное число Python z хранится внутри с использованием прямоугольных или декартовых координат. Оно полностью определяется его действительной частью z.real и его мнимой частью z.imag. Другими словами:

z == z.real + z.imag*1j

Полярные координаты предоставляют альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число z определяется модулем r и фазовым углом phi. Модуль r представляет собой расстояние от z до начала координат, а фаза phi — это против часовой стрелки угол в радианах от положительной оси x до отрезка прямой, соединяющего начало координат с z.

Следующие функции могут быть использованы для преобразования из родных прямоугольных координат в полярные координаты и обратно.

cmath.phase(x)

Возвращает фазу x (также известную как аргумент x) в виде числа с плавающей точкой. phase(x) эквивалентно math.atan2(x.imag, x.real). Результат лежит в диапазоне [-π, π], а разрез ветви для этой операции проходит вдоль отрицательной вещественной оси, непрерывный сверху. На системах с поддержкой знаковых нулей (что включает большинство систем, которые сейчас используются), это означает, что знак результата такой же, как знак x.imag, даже когда x.imag равно нулю:

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

cmath.polar(x)

Возвращает представление x в полярных координатах. Возвращает пару (r, phi) где r — модуль x, а phi — фаза x. polar(x) эквивалентно (abs(x), phase(x)).

cmath.rect(r, phi)

Возвращает комплексное число x с полярными координатами r и phi. Эквивалентно r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j).

2. Функции степеней и логарифмов

cmath.exp(x)

Возвращает экспоненциальное значение e**x.

cmath.log(x[, base])

Возвращает логарифм x по заданному основанию. Если основание не указано, возвращает натуральный логарифм x. Есть один разрез ветви, от 0 вдоль отрицательной вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.log10(x)

Возвращает десятичный логарифм x. У него такой же разрез ветви, как у log().

cmath.sqrt(x)

Возвращает квадратный корень из x. У него такой же разрез ветви, как у log().

3. Тригонометрические функции

cmath.acos(x)

Возвращает арккосинус x. Существует два разрыва ветвей: Один простирается вправо от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой простирается влево от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.asin(x)

Возвращает арксинус x. У него такие же разрывы ветвей, как у acos().

cmath.atan(x)

Возвращает арктангенс x. Существует два разрыва ветвей: Один простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j, непрерывный справа. Другой простирается от -1j вдоль мнимой оси до -∞j, непрерывный слева.

cmath.cos(x)

Возвращает косинус x.

cmath.sin(x)

Возвращает синус x.

cmath.tan(x)

Возвращает тангенс x.

4. Гиперболические функции

cmath.acosh(x)

Возвращает обратный гиперболический косинус x. Существует один разрыв ветвей, простирающийся влево от 1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.asinh(x)

Возвращает обратный гиперболический синус x. Существует два разрыва ветвей: Один простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j, непрерывный справа. Другой простирается от -1j вдоль мнимой оси до -∞j, непрерывный слева.

cmath.atanh(x)

Возвращает обратный гиперболический тангенс x. Существует два разрыва ветвей: Один простирается от 1 вдоль вещественной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой простирается от -1 вдоль вещественной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.cosh(x)

Возвращает гиперболический косинус x.

cmath.sinh(x)

Возвращает гиперболический синус x.

cmath.tanh(x)

Возвращает гиперболический тангенс x.

5. Функции классификации

cmath.isfinite(x)

Возвращает True если и действительная, и мнимая части x конечны, и False в противном случае.

Добавлена в версии 3.2.

cmath.isinf(x)

Возвращает True если либо действительная, либо мнимая часть x — бесконечность, и False в противном случае.

cmath.isnan(x)

Возвращает True если либо действительная, либо мнимая часть x — NaN, и False в противном случае.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

Возвращает True если значения a и b близки друг к другу, и False в противном случае.

Будут ли два значения считаться близкими, определяется в соответствии с заданными абсолютной и относительной погрешностями.

rel_tol — относительная погрешность — это максимальное допустимое различие между a и b по отношению к большему абсолютному значению a или b. Например, чтобы установить погрешность в 5%, передайте rel_tol=0.05. Значение по умолчанию для погрешности составляет 1e-09, что гарантирует, что два значения совпадают с точностью до примерно 9 десятичных знаков. rel_tol должно быть больше нуля.

abs_tol — минимальная абсолютная погрешность — полезна для сравнений, близких к нулю. abs_tol должно быть не меньше нуля.

Если ошибок не произошло, результат будет: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

Специальные значения IEEE 754 NaN, inf, и -inf будут обрабатываться в соответствии с правилами IEEE. В частности, NaN не считается близким к какому-либо другому значению, включая NaN. inf и -inf считаются близкими только к самим себе.

Добавлена в версии 3.5.

См. также

PEP 485 — Функция для проверки приблизительного равенства

6. Константы

cmath.pi

Математическая константа π в виде числа с плавающей точкой.

cmath.e

Математическая константа e в виде числа с плавающей точкой.

Обратите внимание, что выбор функций аналогичен, но не идентичен, выбору функций в модуле math. Причина наличия двух модулей заключается в том, что некоторые пользователи не заинтересованы в комплексных числах и, возможно, даже не знают, что они собой представляют. Они бы предпочли, чтобы math.sqrt(-1) вызывала исключение, а не возвращала комплексное число. Также обратите внимание, что функции, определенные в cmath, всегда возвращают комплексное число, даже если ответ можно выразить как вещественное число (в этом случае комплексное число имеет мнимую часть, равную нулю).

Примечание о разрывах ветвей: Это кривые, вдоль которых заданная функция перестаёт быть непрерывной. Они являются необходимой особенностью многих комплексных функций. Предполагается, что если вам нужно работать с комплексными функциями, вы будете понимать разрывы ветвей. Обратитесь практически к любой (не слишком элементарной) книге по комплексным переменным для получения дополнительных сведений. Для получения информации о правильном выборе разрывов ветвей для численных целей, хорошим справочником должно быть следующее: