cmath — Математические функции для комплексных чисел

Этот модуль всегда доступен. Он предоставляет доступ к математическим функциям для комплексных чисел. Функции в этом модуле принимают целые числа, числа с плавающей точкой или комплексные числа в качестве аргументов. Они также примут любой объект Python, у которого есть метод __complex__() или метод __float__(): эти методы используются для преобразования объекта в комплексное или число с плавающей точкой соответственно, и затем функция применяется к результату преобразования.

9.3.1. Преобразования между декартовыми и полярными координатами

Комплексное число Python z хранится во внутренней памяти с использованием прямоугольных или декартовых координат. Оно полностью определяется своей действительной частью z.real и своей мнимой частью z.imag. Другими словами:

z == z.real + z.imag*1j

Полярные координаты предлагают альтернативный способ представления комплексного числа. В полярных координатах комплексное число z определяется модулем r и фазовым углом phi. Модуль r представляет собой расстояние от z до начала координат, а фаза phi — это угол против часовой стрелки, измеряемый в радианах, от положительной оси x до отрезка прямой, соединяющего начало координат с z.

Следующие функции могут быть использованы для преобразования из декартовых координат в полярные и обратно.

cmath.phase(x)

Возвращает фазу x (также известную как аргумент x) в виде числа с плавающей точкой. phase(x) эквивалентно math.atan2(x.imag, x.real). Результат находится в диапазоне [-π, π], и разрез ветви для этой операции проходит вдоль отрицательной действительной оси, непрерывный сверху. На системах с поддержкой знаковых нулей (что включает большинство систем, используемых в настоящее время), это означает, что знак результата совпадает со знаком x.imag, даже когда x.imag равно нулю:

>>> phase(complex(-1.0, 0.0))
3.141592653589793
>>> phase(complex(-1.0, -0.0))
-3.141592653589793

cmath.polar(x)

Возвращает представление x в полярных координатах. Возвращает пару (r, phi), где r — модуль x, а phi — фаза x. polar(x) эквивалентно (abs(x), phase(x)).

cmath.rect(r, phi)

Возвращает комплексное число x с полярными координатами r и phi. Эквивалентно r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j).

9.3.2. Функции степеней и логарифмы

cmath.exp(x)

Возвращает экспоненциальное значение e**x.

cmath.log(x[, base])

Возвращает логарифм x по заданному основанию. Если основание не указано, возвращает натуральный логарифм x. Существует один разрез ветви, от 0 вдоль отрицательной действительной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.log10(x)

Возвращает логарифм x по основанию 10. У него тот же разрез ветви, что и у log().

cmath.sqrt(x)

Возвращает квадратный корень из x. У него тот же разрез ветви, что и у log().

9.3.3. Тригонометрические функции

cmath.acos(x)

Возвращает арккосинус x. Есть два разреза ветвей: Один простирается вправо от 1 вдоль действительной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой простирается влево от -1 вдоль действительной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.asin(x)

Возвращает арксинус x. У него те же разрезы ветвей, что и у acos().

cmath.atan(x)

Возвращает арктангенс x. Есть два разреза ветвей: Один простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j, непрерывный справа. Другой простирается от -1j вдоль мнимой оси до -∞j, непрерывный слева.

cmath.cos(x)

Возвращает косинус x.

cmath.sin(x)

Возвращает синус x.

cmath.tan(x)

Возвращает тангенс x.

9.3.4. Гиперболические функции

cmath.acosh(x)

Возвращает обратную гиперболическую косинус x. Существует один разрез ветви, простирающийся влево от 1 вдоль действительной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.asinh(x)

Возвращает обратную гиперболическую синус x. Существует два разреза ветвей: Один простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j, непрерывный справа. Другой простирается от -1j вдоль мнимой оси до -∞j, непрерывный слева.

cmath.atanh(x)

Возвращает обратную гиперболическую тангенс x. Есть два разреза ветвей: Один простирается от 1 вдоль действительной оси до ∞, непрерывный снизу. Другой простирается от -1 вдоль действительной оси до -∞, непрерывный сверху.

cmath.cosh(x)

Возвращает гиперболический косинус x.

cmath.sinh(x)

Возвращает гиперболический синус x.

cmath.tanh(x)

Возвращает гиперболический тангенс x.

9.3.5. Функции классификации

cmath.isfinite(x)

Возвращает True если обе вещественная и мнимая части x конечны, и False в противном случае.

Новое в версии 3.2.

cmath.isinf(x)

Возвращает True если либо вещественная, либо мнимая часть x представляет собой бесконечность, и False в противном случае.

cmath.isnan(x)

Возвращает True если либо вещественная, либо мнимая часть x — NaN, и False в противном случае.

cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

Возвращает True если значения a и b близки друг к другу, и False в противном случае.

В зависимости от заданных абсолютных и относительных допусков определяется, близки ли два значения.

rel_tol — относительная погрешность — это максимальное допустимое различие между a и b по отношению к большему абсолютному значению a или b. Например, для установки допустимости 5%, передайте rel_tol=0.05. Значение по умолчанию для погрешности — 1e-09, что гарантирует, что два значения совпадают в пределах приблизительно 9 десятичных знаков. rel_tol должно быть больше нуля.

abs_tol — минимальная абсолютная погрешность — полезна для сравнения вблизи нуля. abs_tol должно быть не меньше нуля.

Если ошибок не произошло, результат будет: abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol).

Специальные значения IEEE 754 — NaN, inf, и -inf будут обрабатываться в соответствии с правилами IEEE. В частности, NaN не считается близким к какому-либо другому значению, включая NaN. inf и -inf считаются близкими только к самим себе.

Новое в версии 3.5.

См. также

PEP 485 — Функция для тестирования приблизительного равенства

9.3.6. Константы

cmath.pi

Математическая константа π в виде числа с плавающей точкой.

cmath.e

Математическая константа e в виде числа с плавающей точкой.

cmath.tau

Математическая константа τ в виде числа с плавающей точкой.

Новое в версии 3.6.

cmath.inf

Положительная бесконечность с плавающей точкой. Эквивалентно float('inf').

Новое в версии 3.6.

cmath.infj

Комплексное число с нулевой действительной частью и положительной бесконечностью мнимой части. Эквивалентно complex(0.0, float('inf')).

Новое в версии 3.6.

cmath.nan

Значение с плавающей запятой «не число» (NaN). Эквивалентно float('nan').

Новое в версии 3.6.

cmath.nanj

Комплексное число с нулевой действительной частью и NaN мнимой частью. Эквивалентно complex(0.0, float('nan')).

Новое в версии 3.6.

Обратите внимание, что выбор функций похож, но не идентичен, функциям в модуле math. Причина наличия двух модулей заключается в том, что некоторые пользователи не интересуются комплексными числами и, возможно, даже не знают, что это такое. Они бы предпочли, чтобы math.sqrt(-1) выбрасывал исключение, а не возвращал комплексное число. Также обратите внимание, что функции, определенные в cmath, всегда возвращают комплексное число, даже если ответ можно выразить как действительное число (в этом случае комплексное число имеет мнимую часть ноль).

Примечание о разрезах ветвей: они представляют собой кривые, вдоль которых данная функция перестает быть непрерывной. Они являются необходимой особенностью многих комплексных функций. Предполагается, что если вам нужно работать с комплексными функциями, вы будете понимать разрезы ветвей. Обратитесь практически к любой (не слишком элементарной) книге по комплексным переменным для получения дополнительной информации. Для получения информации о правильном выборе разрезов ветвей в целях численного анализа хорошим справочником является следующий: