torch.linalg.lu_solve

torch.linalg.lu_solve(LU, pivots, B, *, left=True, adjoint=False, out=None) → Tensor [source]

Вычисляет решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей и единственным решением, используя LU-разложение.

Пусть $\mathbb{K}$ — это $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, эта функция вычисляет решение $X \in \mathbb{K}^{n \times k}$ системы линейных уравнений, соответствующей $A \in \mathbb{K}^{n \times n}, B \in \mathbb{K}^{n \times k}$, определённой следующим образом:

$$AX = B$$

где $A$ задана в факторизованном виде, возвращаемом функцией lu_factor().

Если left= False, эта функция возвращает матрицу $X \in \mathbb{K}^{n \times k}$, являющуюся решением системы

$$XA = B\mathrlap{\qquad A \in \mathbb{K}^{k \times k}, B \in \mathbb{K}^{n \times k}.}$$

Если adjoint= True (и left= True), то для заданного LU-разложения $A$ эта функция возвращает $X \in \mathbb{K}^{n \times k}$, являющуюся решением системы

$$A^{\text{H}}X = B\mathrlap{\qquad A \in \mathbb{K}^{k \times k}, B \in \mathbb{K}^{n \times k}.}$$

где $A^{\text{H}}$ — эрмитово-сопряжённая матрица, если $A$ является комплексной, и транспонированная матрица, если $A$ является вещественной. Случай left= False аналогичен.

Поддерживаются входные данные типов float, double, cfloat и cdouble. Также поддерживаются пакеты матриц; если входные данные представляют собой пакеты матриц, выходные данные имеют те же размеры пакета.

Параметры:

• LU (Tensor) – тензор формы (*, n, n) (или (*, k, k), если left= True), где * — ноль или более пакетных измерений, как возвращает функция lu_factor().
• pivots (Tensor) – тензор формы (*, n) (или (*, k), если left= True), где * — ноль или более пакетных измерений, как возвращает функция lu_factor().
• B (Tensor) – тензор правой части формы (*, n, k).

Именованные аргументы:

• left (bool, необязательно) – определяет, следует ли решать систему $AX=B$ или $XA = B$. По умолчанию: True.
• adjoint (bool, необязательно) – определяет, следует ли решать систему $AX=B$ или $A^{\text{H}}X = B$. По умолчанию: False.
• out (Tensor, необязательно) – выходной тензор. Игнорируется, если None. По умолчанию: None.

Примеры:

>>> A = torch.randn(3, 3)
>>> LU, pivots = torch.linalg.lu_factor(A)
>>> B = torch.randn(3, 2)
>>> X = torch.linalg.lu_solve(LU, pivots, B)
>>> torch.allclose(A @ X, B)
True

>>> B = torch.randn(3, 3, 2)   # Broadcasting rules apply: A is broadcasted
>>> X = torch.linalg.lu_solve(LU, pivots, B)
>>> torch.allclose(A @ X, B)
True

>>> B = torch.randn(3, 5, 3)
>>> X = torch.linalg.lu_solve(LU, pivots, B, left=False)
>>> torch.allclose(X @ A, B)
True

>>> B = torch.randn(3, 3, 4)   # Now solve for A^T
>>> X = torch.linalg.lu_solve(LU, pivots, B, adjoint=True)
>>> torch.allclose(A.mT @ X, B)
True