torch.linalg.householder_product

torch.linalg.householder_product(A, tau, *, out=None) → Tensor

Вычисляет первые n столбцы произведения матриц Хаусхолдера.

Пусть $\mathbb{K}$ обозначает $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, и пусть $V \in \mathbb{K}^{m \times n}$ — матрица со столбцами $v_i \in \mathbb{K}^m$ для $i=1,\ldots,m$ при $m \geq n$. Обозначим через $w_i$ вектор, полученный обнулением первых $i-1$ компонент $v_i$ и установкой значения 1 для $i$-ой компоненты. Для вектора $\tau \in \mathbb{K}^k$ с $k \leq n$ эта функция вычисляет первые $n$ столбцов матрицы

$$H_1H_2 ... H_k \qquad\text{с}\qquad H_i = \mathrm{I}_m - \tau_i w_i w_i^{\text{H}}$$

где $\mathrm{I}_m$ — m-мерная единичная матрица, а $w^{\text{H}}$ — сопряжённый транспонированный, когда $w$ комплексная, и транспонированный, когда $w$ вещественная. Матрица результата имеет те же размеры, что и входная матрица A.

Подробности см. в Представление ортогональных или унитарных матриц.

Поддерживает типы данных float, double, cfloat и cdouble. Также поддерживает пакетные матрицы, и если входные данные представляют собой пакетные матрицы, то выходные данные имеют те же размерности пакета.

См. также

torch.geqrf() может быть использована совместно с этой функцией для формирования Q из разложения qr().

torch.ormqr() — это связанная функция, которая вычисляет матричное произведение произведения матриц Хаусхолдера с другой матрицей. Однако эта функция не поддерживается автоградом.

Предупреждение

Вычисления градиента определены корректно только если $tau_i \neq \frac{1}{||v_i||^2}$. Если это условие не выполняется, ошибка не будет выброшена, но полученный градиент может содержать NaN.

Параметры

• A (Tensor) – тензор формы (*, m, n), где * — ноль или более размерностей пакета.
• tau (Tensor) – тензор формы (*, k), где * — ноль или более размерностей пакета.

Ключевые аргументы

out (Tensor, необязательно) – выходной тензор. Игнорируется, если None. По умолчанию: None.

Исключения

RuntimeError – если A не удовлетворяет требованию m >= n, или tau не удовлетворяет требованию n >= k.

Примеры:

>>> A = torch.randn(2, 2)
>>> h, tau = torch.geqrf(A)
>>> Q = torch.linalg.householder_product(h, tau)
>>> torch.dist(Q, torch.linalg.qr(A).Q)
tensor(0.)

>>> h = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> tau = torch.randn(3, 1, dtype=torch.complex128)
>>> Q = torch.linalg.householder_product(h, tau)
>>> Q
tensor([[[ 1.8034+0.4184j,  0.2588-1.0174j],
        [-0.6853+0.7953j,  2.0790+0.5620j]],

        [[ 1.4581+1.6989j, -1.5360+0.1193j],
        [ 1.3877-0.6691j,  1.3512+1.3024j]],

        [[ 1.4766+0.5783j,  0.0361+0.6587j],
        [ 0.6396+0.1612j,  1.3693+0.4481j]]], dtype=torch.complex128)