Регрессия на основе главных компонент против регрессии на основе наименьших квадратов

Данные

Мы начинаем с создания простого набора данных с двумя признаками. Прежде чем углубиться в PCR и PLS, мы подгоняем оценщик PCA, чтобы отобразить две главные компоненты этого набора данных, то есть два направления, которые объясняют наибольшую дисперсию в данных.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from sklearn.decomposition import PCA

rng = np.random.RandomState(0)
n_samples = 500
cov = [[3, 3], [3, 4]]
X = rng.multivariate_normal(mean=[0, 0], cov=cov, size=n_samples)
pca = PCA(n_components=2).fit(X)


plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], alpha=0.3, label="samples")
for i, (comp, var) in enumerate(zip(pca.components_, pca.explained_variance_)):
    comp = comp * var  # scale component by its variance explanation power
    plt.plot(
        [0, comp[0]],
        [0, comp[1]],
        label=f"Component {i}",
        linewidth=5,
        color=f"C{i + 2}",
    )
plt.gca().set(
    aspect="equal",
    title="2-dimensional dataset with principal components",
    xlabel="first feature",
    ylabel="second feature",
)
plt.legend()
plt.show()

В целях этого примера мы теперь определяем целевую переменную y таким образом, чтобы она сильно коррелировала с направлением, имеющим небольшую дисперсию. Для этого мы спроецируем X на вторую компоненту и добавим к ней немного шума.

y = X.dot(pca.components_[1]) + rng.normal(size=n_samples) / 2

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 3))

axes[0].scatter(X.dot(pca.components_[0]), y, alpha=0.3)
axes[0].set(xlabel="Projected data onto first PCA component", ylabel="y")
axes[1].scatter(X.dot(pca.components_[1]), y, alpha=0.3)
axes[1].set(xlabel="Projected data onto second PCA component", ylabel="y")
plt.tight_layout()
plt.show()

Проекция на одну компоненту и предсказательная способность

Теперь мы создаем два регрессора: PCR и PLS, и для целей иллюстрации мы устанавливаем количество компонент в 1. Перед подачей данных на шаг PCA в PCR мы сначала стандартизируем их, как рекомендует лучшая практика. Оценщик PLS имеет встроенные возможности масштабирования.

Для обеих моделей мы строим график спроецированных данных на первую компоненту против целевой переменной. В обоих случаях эти спроецированные данные будут использованы регрессорами для обучения.

from sklearn.cross_decomposition import PLSRegression
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=rng)

pcr = make_pipeline(StandardScaler(), PCA(n_components=1), LinearRegression())
pcr.fit(X_train, y_train)
pca = pcr.named_steps["pca"]  # retrieve the PCA step of the pipeline

pls = PLSRegression(n_components=1)
pls.fit(X_train, y_train)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 3))
axes[0].scatter(pca.transform(X_test), y_test, alpha=0.3, label="ground truth")
axes[0].scatter(
    pca.transform(X_test), pcr.predict(X_test), alpha=0.3, label="predictions"
)
axes[0].set(
    xlabel="Projected data onto first PCA component", ylabel="y", title="PCR / PCA"
)
axes[0].legend()
axes[1].scatter(pls.transform(X_test), y_test, alpha=0.3, label="ground truth")
axes[1].scatter(
    pls.transform(X_test), pls.predict(X_test), alpha=0.3, label="predictions"
)
axes[1].set(xlabel="Projected data onto first PLS component", ylabel="y", title="PLS")
axes[1].legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

Как и ожидалось, неконтролируемое преобразование PCA в PCR отбросило вторую компоненту, то есть направление с наименьшей дисперсией, несмотря на то, что это направление является наиболее предсказательным. Это связано с тем, что PCA является полностью неконтролируемым преобразованием и приводит к тому, что спроецированные данные имеют низкую предсказательную способность по отношению к целевой переменной.

С другой стороны, регрессор PLS удается уловить эффект направления с наименьшей дисперсией благодаря использованию информации о целевой переменной во время преобразования: он может распознать, что это направление фактически является наиболее предсказательным. Обратите внимание, что первая компонента PLS отрицательно коррелирует с целевой переменной, что обусловлено произвольностью знаков собственных векторов.

Мы также выводим значения R-квадрат для обеих оценок, что еще раз подтверждает, что PLS в этом случае является лучшей альтернативой PCR. Отрицательное значение R-квадрат указывает на то, что PCR работает хуже, чем регрессор, который просто предсказывает среднее значение целевой переменной.

print(f"PCR r-squared {pcr.score(X_test, y_test):.3f}")
print(f"PLS r-squared {pls.score(X_test, y_test):.3f}")

PCR r-squared -0.026
PLS r-squared 0.658

В качестве заключительного замечания отметим, что PCR с 2 компонентами работает так же хорошо, как и PLS: это связано с тем, что в этом случае PCR смог использовать вторую компоненту, которая имеет наибольшую предсказательную силу по отношению к целевой переменной.

pca_2 = make_pipeline(PCA(n_components=2), LinearRegression())
pca_2.fit(X_train, y_train)
print(f"PCR r-squared with 2 components {pca_2.score(X_test, y_test):.3f}")

PCR r-squared with 2 components 0.673

Общее время выполнения скрипта: (0 минут 0,531 секунды)

Download Jupyter notebook: plot_pcr_vs_pls.ipynb

Download Python source code: plot_pcr_vs_pls.py

Download zipped: plot_pcr_vs_pls.zip

Связанные примеры

Сравнение методов кросс-декомпозиции

Важность масштабирования признаков

Сопоставление данных с нормальным распределением

Ядерное PCA