Примечание

Перейти в конец, чтобы скачать полный код примера или запустить этот пример в браузере через JupyterLite или Binder.

Иллюстрация априорного и апостериорного гауссовских процессов с различными ядрами

В этом примере иллюстрируются априорное и апостериорное распределения GaussianProcessRegressor с различными ядрами. Для обоих распределений показаны среднее значение, стандартное отклонение и 5 выборок.

Здесь мы приводим лишь иллюстрацию. Подробнее о формулах ядер см. в руководстве пользователя.

# Authors: The scikit-learn developers
# SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

Вспомогательная функция

Прежде чем представить каждое из доступных ядер для гауссовских процессов, определим вспомогательную функцию, которая позволит нам строить графики выборок, полученных из гауссовского процесса.

Эта функция принимает модель GaussianProcessRegressor и строит выборки из гауссовского процесса. Если модель не обучена, выборки берутся из априорного распределения; после обучения модели — из апостериорного распределения.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def plot_gpr_samples(gpr_model, n_samples, ax):
    """Plot samples drawn from the Gaussian process model.

    If the Gaussian process model is not trained then the drawn samples are
    drawn from the prior distribution. Otherwise, the samples are drawn from
    the posterior distribution. Be aware that a sample here corresponds to a
    function.

    Parameters
    ----------
    gpr_model : `GaussianProcessRegressor`
        A :class:`~sklearn.gaussian_process.GaussianProcessRegressor` model.
    n_samples : int
        The number of samples to draw from the Gaussian process distribution.
    ax : matplotlib axis
        The matplotlib axis where to plot the samples.
    """
    x = np.linspace(0, 5, 100)
    X = x.reshape(-1, 1)

    y_mean, y_std = gpr_model.predict(X, return_std=True)
    y_samples = gpr_model.sample_y(X, n_samples)

    for idx, single_prior in enumerate(y_samples.T):
        ax.plot(
            x,
            single_prior,
            linestyle="--",
            alpha=0.7,
            label=f"Sampled function #{idx + 1}",
        )
    ax.plot(x, y_mean, color="black", label="Mean")
    ax.fill_between(
        x,
        y_mean - y_std,
        y_mean + y_std,
        alpha=0.1,
        color="black",
        label=r"$\pm$ 1 std. dev.",
    )
    ax.set_xlabel("x")
    ax.set_ylabel("y")
    ax.set_ylim([-3, 3])

Создание набора данных и гауссовского процесса

Создадим обучающий набор данных, который будем использовать в следующих разделах.

rng = np.random.RandomState(4)
X_train = rng.uniform(0, 5, 10).reshape(-1, 1)
y_train = np.sin((X_train[:, 0] - 2.5) ** 2)
n_samples = 5

Справочник по ядрам

В этом разделе мы иллюстрируем выборки из априорного и апостериорного распределений гауссовского процесса с различными ядрами.

Ядро радиальных базисных функций

from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF

kernel = 1.0 * RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-1, 10.0))
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, random_state=0)

fig, axs = plt.subplots(nrows=2, sharex=True, sharey=True, figsize=(10, 8))

# plot prior
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[0])
axs[0].set_title("Samples from prior distribution")

# plot posterior
gpr.fit(X_train, y_train)
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[1])
axs[1].scatter(X_train[:, 0], y_train, color="red", zorder=10, label="Observations")
axs[1].legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.5), loc="upper left")
axs[1].set_title("Samples from posterior distribution")

fig.suptitle("Radial Basis Function kernel", fontsize=18)
plt.tight_layout()

Radial Basis Function kernel, Samples from prior distribution, Samples from posterior distribution

print(f"Kernel parameters before fit:\n{kernel})")
print(
    f"Kernel parameters after fit: \n{gpr.kernel_} \n"
    f"Log-likelihood: {gpr.log_marginal_likelihood(gpr.kernel_.theta):.3f}"
)

Kernel parameters before fit:
1**2 * RBF(length_scale=1))
Kernel parameters after fit:
0.594**2 * RBF(length_scale=0.279)
Log-likelihood: -0.067

Рационально-квадратичное ядро

from sklearn.gaussian_process.kernels import RationalQuadratic

kernel = 1.0 * RationalQuadratic(length_scale=1.0, alpha=0.1, alpha_bounds=(1e-5, 1e15))
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, random_state=0)

fig, axs = plt.subplots(nrows=2, sharex=True, sharey=True, figsize=(10, 8))

# plot prior
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[0])
axs[0].set_title("Samples from prior distribution")

# plot posterior
gpr.fit(X_train, y_train)
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[1])
axs[1].scatter(X_train[:, 0], y_train, color="red", zorder=10, label="Observations")
axs[1].legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.5), loc="upper left")
axs[1].set_title("Samples from posterior distribution")

fig.suptitle("Rational Quadratic kernel", fontsize=18)
plt.tight_layout()

Rational Quadratic kernel, Samples from prior distribution, Samples from posterior distribution

print(f"Kernel parameters before fit:\n{kernel})")
print(
    f"Kernel parameters after fit: \n{gpr.kernel_} \n"
    f"Log-likelihood: {gpr.log_marginal_likelihood(gpr.kernel_.theta):.3f}"
)

Kernel parameters before fit:
1**2 * RationalQuadratic(alpha=0.1, length_scale=1))
Kernel parameters after fit:
0.594**2 * RationalQuadratic(alpha=3.16e+05, length_scale=0.279)
Log-likelihood: -0.067

Ядро экспоненциального синуса в квадрате

from sklearn.gaussian_process.kernels import ExpSineSquared

kernel = 1.0 * ExpSineSquared(
    length_scale=1.0,
    periodicity=3.0,
    length_scale_bounds=(0.1, 10.0),
    periodicity_bounds=(1.0, 10.0),
)
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, random_state=0)

fig, axs = plt.subplots(nrows=2, sharex=True, sharey=True, figsize=(10, 8))

# plot prior
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[0])
axs[0].set_title("Samples from prior distribution")

# plot posterior
gpr.fit(X_train, y_train)
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[1])
axs[1].scatter(X_train[:, 0], y_train, color="red", zorder=10, label="Observations")
axs[1].legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.5), loc="upper left")
axs[1].set_title("Samples from posterior distribution")

fig.suptitle("Exp-Sine-Squared kernel", fontsize=18)
plt.tight_layout()

Exp-Sine-Squared kernel, Samples from prior distribution, Samples from posterior distribution

print(f"Kernel parameters before fit:\n{kernel})")
print(
    f"Kernel parameters after fit: \n{gpr.kernel_} \n"
    f"Log-likelihood: {gpr.log_marginal_likelihood(gpr.kernel_.theta):.3f}"
)

Kernel parameters before fit:
1**2 * ExpSineSquared(length_scale=1, periodicity=3))
Kernel parameters after fit:
0.799**2 * ExpSineSquared(length_scale=0.791, periodicity=2.87)
Log-likelihood: 3.394

Скалярное произведение

from sklearn.gaussian_process.kernels import ConstantKernel, DotProduct

kernel = ConstantKernel(0.1, (0.01, 10.0)) * (
    DotProduct(sigma_0=1.0, sigma_0_bounds=(0.1, 10.0)) ** 2
)
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, random_state=0, normalize_y=True)

fig, axs = plt.subplots(nrows=2, sharex=True, sharey=True, figsize=(10, 8))

# plot prior
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[0])
axs[0].set_title("Samples from prior distribution")

# plot posterior
gpr.fit(X_train, y_train)
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[1])
axs[1].scatter(X_train[:, 0], y_train, color="red", zorder=10, label="Observations")
axs[1].legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.5), loc="upper left")
axs[1].set_title("Samples from posterior distribution")

fig.suptitle("Dot-product kernel", fontsize=18)
plt.tight_layout()

Dot-product kernel, Samples from prior distribution, Samples from posterior distribution

/home/circleci/project/sklearn/gaussian_process/_gpr.py:667: ConvergenceWarning: lbfgs failed to converge after 1 iteration(s) (status=2):
ABNORMAL:

You might also want to scale the data as shown in:
    https://scikit-learn.org/stable/modules/preprocessing.html
  _check_optimize_result("lbfgs", opt_res)

print(f"Kernel parameters before fit:\n{kernel})")
print(
    f"Kernel parameters after fit: \n{gpr.kernel_} \n"
    f"Log-likelihood: {gpr.log_marginal_likelihood(gpr.kernel_.theta):.3f}"
)

Kernel parameters before fit:
0.316**2 * DotProduct(sigma_0=1) ** 2)
Kernel parameters after fit:
0.224**2 * DotProduct(sigma_0=0.501) ** 2
Log-likelihood: -18108874523.539

Ядро Матерна

from sklearn.gaussian_process.kernels import Matern

kernel = 1.0 * Matern(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-1, 10.0), nu=1.5)
gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, random_state=0)

fig, axs = plt.subplots(nrows=2, sharex=True, sharey=True, figsize=(10, 8))

# plot prior
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[0])
axs[0].set_title("Samples from prior distribution")

# plot posterior
gpr.fit(X_train, y_train)
plot_gpr_samples(gpr, n_samples=n_samples, ax=axs[1])
axs[1].scatter(X_train[:, 0], y_train, color="red", zorder=10, label="Observations")
axs[1].legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1.5), loc="upper left")
axs[1].set_title("Samples from posterior distribution")

fig.suptitle("Matérn kernel", fontsize=18)
plt.tight_layout()

Matérn kernel, Samples from prior distribution, Samples from posterior distribution

print(f"Kernel parameters before fit:\n{kernel})")
print(
    f"Kernel parameters after fit: \n{gpr.kernel_} \n"
    f"Log-likelihood: {gpr.log_marginal_likelihood(gpr.kernel_.theta):.3f}"
)

Kernel parameters before fit:
1**2 * Matern(length_scale=1, nu=1.5))
Kernel parameters after fit:
0.609**2 * Matern(length_scale=0.484, nu=1.5)
Log-likelihood: -1.185

Общее время выполнения скрипта: (0 минут 1.402 секунды)