tf.compat.v1.distributions.Dirichlet

Распределение Дирихле.

Наследуется от: Distribution

tf.compat.v1.distributions.Dirichlet(
    concentration,
    validate_args=False,
    allow_nan_stats=True,
    name='Dirichlet'
)

Распределение Дирихле задано на (k-1)-симплексе с помощью положительного вектора k длины concentration (k > 1). Распределение Дирихле совпадает с бета-распределением, когда k = 2.

Математические подробности

Распределение Дирихле задано на открытом (k-1)-симплексе, то есть

S^{k-1} = { (x_0, ..., x_{k-1}) in R^k : sum_j x_j = 1 and all_j x_j > 0 }.

Функция плотности вероятности (pdf) имеет вид:

pdf(x; alpha) = prod_j x_j**(alpha_j - 1) / Z
Z = prod_j Gamma(alpha_j) / Gamma(sum_j alpha_j)

где:

• x in S^{k-1}, то есть (k-1)-симплекс,
• concentration = alpha = [alpha_0, ..., alpha_{k-1}], alpha_j > 0,
• Z — нормирующая константа, также называемая многомерной бета-функцией, и
• Gamma — гамма-функция.

concentration представляет собой среднее общее число появлений классов, то есть

concentration = alpha = mean * total_concentration

где mean в S^{k-1}, а total_concentration — положительное вещественное число, представляющее среднее общее количество.

Параметры распределения автоматически транслируются во всех функциях; подробности см. в примерах.

Для выборок из этого распределения используется репараметризация (поточечная дифференцируемость). Производные вычисляются с использованием подхода, описанного в работе Figurnov et al., 2018.

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

# Create a single trivariate Dirichlet, with the 3rd class being three times
# more frequent than the first. I.e., batch_shape=[], event_shape=[3].
alpha = [1., 2, 3]
dist = tfd.Dirichlet(alpha)

dist.sample([4, 5])  # shape: [4, 5, 3]

# x has one sample, one batch, three classes:
x = [.2, .3, .5]   # shape: [3]
dist.prob(x)       # shape: []

# x has two samples from one batch:
x = [[.1, .4, .5],
     [.2, .3, .5]]
dist.prob(x)         # shape: [2]

# alpha will be broadcast to shape [5, 7, 3] to match x.
x = [[...]]   # shape: [5, 7, 3]
dist.prob(x)  # shape: [5, 7]

# Create batch_shape=[2], event_shape=[3]:
alpha = [[1., 2, 3],
         [4, 5, 6]]   # shape: [2, 3]
dist = tfd.Dirichlet(alpha)

dist.sample([4, 5])  # shape: [4, 5, 2, 3]

x = [.2, .3, .5]
# x will be broadcast as [[.2, .3, .5],
#                         [.2, .3, .5]],
# thus matching batch_shape [2, 3].
dist.prob(x)         # shape: [2]

Вычислите градиенты выборок по параметрам:

alpha = tf.constant([1.0, 2.0, 3.0])
dist = tfd.Dirichlet(alpha)
samples = dist.sample(5)  # Shape [5, 3]
loss = tf.reduce_mean(tf.square(samples))  # Arbitrary loss function
# Unbiased stochastic gradients of the loss function
grads = tf.gradients(loss, alpha)

Методы

batch_shape_tensor

Посмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одной выборки для одного индекса события в виде одномерного Tensor.

Размерности пакета являются индексами независимых параметризаций этого распределения, не совпадающих друг с другом.

cdf

Посмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция распределения.

Для случайной величины X функция распределения cdf имеет вид:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Посмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создает глубокую копию распределения.

Примечание: скопированное распределение может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Посмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация может быть определена только для распределений с нес скалярными событиями.

Например, для векторного распределения длины k она вычисляется следующим образом:

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — (пакет) матриц k x k, 0 <= (i, j) < k, а E обозначает математическое ожидание.

Для многомерных распределений, не являющихся векторными (например, матричного распределения Уишарта), Covariance должна возвращать (пакет) матриц при некоторой векторизации событий, то есть

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — (пакет) матриц k' x k', 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), а Vec — некоторая функция, сопоставляющая индексы размерностей событий этого распределения индексам вектора длины k'.

cross_entropy

Посмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет кросс-энтропию (Шеннона).

Обозначим это распределение (self) через P, а распределение other — через Q. При условии, что P, Q абсолютно непрерывны относительно друг друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), кросс-энтропия (Шеннона) определяется следующим образом:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает носитель случайной величины X ~ P.

entropy

Посмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Посмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одной выборки для одного пакета в виде одномерного int32 Tensor.

is_scalar_batch

Посмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Посмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Посмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет дивергенцию Кульбака — Лейблера.

Обозначим это распределение (self) через p, а распределение other — через q. При условии, что p, q абсолютно непрерывны относительно опорной меры r, дивергенция KL определяется следующим образом:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает носитель случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает кросс-энтропию (Шеннона), а H[.] — энтропию (Шеннона).

log_cdf

Посмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифм функции распределения.

Для случайной величины X функция распределения cdf имеет вид:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) можно использовать численное приближение, которое дает более точный результат, чем простое вычисление логарифма cdf, когда x << -1.

log_prob

Посмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифм функции плотности/вероятности.

Дополнительная документация из Dirichlet:

Примечание: value должен быть неотрицательным тензором с типом данных self.dtype и принадлежать (self.event_shape() - 1)-симплексу, то есть tf.reduce_sum(value, -1) = 1. Его форма должна быть совместима с self.batch_shape() + self.event_shape().

log_survival_function

Посмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифм функции выживания.

Для случайной величины X функция выживания определяется следующим образом:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Как правило, для логарифма функции выживания можно использовать различные численные приближения, которые точнее, чем 1 - cdf(x), когда x >> 1.

mean

Посмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее.

mode

Посмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

Дополнительная документация из Dirichlet:

Примечание: Мода не определена, если любое concentration <= 1. Если self.allow_nan_stats — True, для неопределенных мод используется NaN. Если self.allow_nan_stats — False, возникает исключение, когда одна или несколько мод не определены.

param_shapes

Посмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров для заданной формы вызова sample().

Это метод класса, описывающий, какие аргументы «ключ/значение» необходимы для создания заданного Distribution, чтобы вызов sample() этого экземпляра возвращал указанную форму.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Посмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (то есть TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий, какие аргументы «ключ/значение» необходимы для создания заданного Distribution, чтобы вызов sample() этого экземпляра возвращал указанную форму. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes, чтобы возвращать тензоры с постоянными значениями, если переданы постоянные значения.

prob

Посмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности вероятности/вероятностной массы.

Дополнительная документация из Dirichlet:

Примечание: value должен быть неотрицательным тензором с типом данных self.dtype и принадлежать (self.event_shape() - 1)-симплексу, то есть tf.reduce_sum(value, -1) = 1. Его форма должна быть совместима с self.batch_shape() + self.event_shape().

quantile

Посмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Квантильная функция. Также называется «обратной функцией распределения» или «функцией процентных точек».

Для случайной величины X и p in [0, 1] функция quantile имеет вид:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Создает выборки указанной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов создает одну выборку.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение определяется следующим образом:

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, соответствующая этому распределению, E обозначает математическое ожидание, а stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X функция выживания определяется следующим образом:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется следующим образом:

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, соответствующая этому распределению, E обозначает математическое ожидание, а Var.shape = batch_shape + event_shape.