tf.compat.v1.distributions.DirichletMultinomial

Составное распределение Дирихле — мультиномиальное.

Наследуется от: Distribution

tf.compat.v1.distributions.DirichletMultinomial(
    total_count,
    concentration,
    validate_args=False,
    allow_nan_stats=True,
    name='DirichletMultinomial'
)

Распределение Дирихле — мультиномиальное параметризуется вектором (или набором векторов) длины K concentration (K > 1) и числом испытаний total_count, то есть количеством испытаний для одной выборки из DirichletMultinomial. Оно определено на векторе (или наборе векторов) длины K counts, таком что tf.reduce_sum(counts, -1) = total_count. Распределение Дирихле — мультиномиальное совпадает с бета-биномиальным распределением при K = 2.

Математические подробности

Распределение Дирихле — мультиномиальное задаёт распределение по количествам объектов в K классах, то есть по вектору длины K из неотрицательных целых чисел counts = n = [n_0, ..., n_{K-1}].

Функция вероятностной массы (pmf) имеет вид:

pmf(n; alpha, N) = Beta(alpha + n) / (prod_j n_j!) / Z
Z = Beta(alpha) / N!

где:

• concentration = alpha = [alpha_0, ..., alpha_{K-1}], alpha_j > 0,
• total_count = N, N — положительное целое число,
• N! — факториал N, и
• Beta(x) = prod_j Gamma(x_j) / Gamma(sum_j x_j) — многомерная бета-функция, а
• Gamma — гамма-функция.

Распределение Дирихле — мультиномиальное является составным распределением, то есть его выборки генерируются следующим образом.

1. Выберите вероятности классов: probs = [p_0,...,p_{K-1}] ~ Dir(concentration)
2. Получите целые числа: counts = [n_0,...,n_{K-1}] ~ Multinomial(total_count, probs)

Последнее измерение concentration задаёт параметры одного распределения Дирихле — мультиномиального. При вызове функций распределения (например, dist.prob(counts)), concentration, total_count и counts приводятся к одинаковой форме. Последнее измерение counts соответствует отдельным распределениям Дирихле — мультиномиальным.

Параметры распределения автоматически приводятся к совместимой форме во всех функциях; подробности см. в примерах.

Возможные проблемы

Число классов, K, не должно превышать:

• наибольшее целое число, представимое типом self.dtype, то есть 2**(mantissa_bits+1) (IEE754);
• максимальный индекс Tensor, то есть 2**31-1.

Иными словами,

K <= min(2**31-1, {
  tf.float16: 2**11,
  tf.float32: 2**24,
  tf.float64: 2**53 }[param.dtype])

Примечание: Это условие проверяется только при self.validate_args = True.

Примеры

alpha = [1., 2., 3.]
n = 2.
dist = DirichletMultinomial(n, alpha)

Создаёт распределение с 3 классами, причём вероятность выбора 3-го класса максимальна. Функции распределения можно вычислять для заданных количеств.

# counts same shape as alpha.
counts = [0., 0., 2.]
dist.prob(counts)  # Shape []

# alpha will be broadcast to [[1., 2., 3.], [1., 2., 3.]] to match counts.
counts = [[1., 1., 0.], [1., 0., 1.]]
dist.prob(counts)  # Shape [2]

# alpha will be broadcast to shape [5, 7, 3] to match counts.
counts = [[...]]  # Shape [5, 7, 3]
dist.prob(counts)  # Shape [5, 7]

Создаёт набор из 2 распределений с 3 классами.

alpha = [[1., 2., 3.], [4., 5., 6.]]  # Shape [2, 3]
n = [3., 3.]
dist = DirichletMultinomial(n, alpha)

# counts will be broadcast to [[2., 1., 0.], [2., 1., 0.]] to match alpha.
counts = [2., 1., 0.]
dist.prob(counts)  # Shape [2]

Методы

batch_shape_tensor

Посмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одной выборки из одного индекса события в виде одномерного Tensor.

Размерности пакета являются индексами независимых параметризаций этого распределения, которые могут различаться.

cdf

Посмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция распределения.

Для случайной величины X функция распределения cdf имеет вид:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Посмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создаёт глубокую копию распределения.

Примечание: скопированное распределение может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Посмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определена только для распределений с нес скалярным событием.

Например, для распределения со значениями-векторами длины k она вычисляется следующим образом:

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — матрица k x k (или набор таких матриц), 0 <= (i, j) < k, а E обозначает математическое ожидание.

Для многомерных распределений, значения которых не являются векторами (например, матричного распределения Уишарта), Covariance должна возвращать матрицы (или набор матриц) после некоторой векторизации событий, то есть:

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — матрицы k' x k' (или набор таких матриц), 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), а Vec — некоторая функция, отображающая индексы размерностей события этого распределения на индексы вектора длины k'.

Дополнительная документация из DirichletMultinomial:

Ковариация для каждого элемента пакета определяется следующим образом:

Var(X_j) = n * alpha_j / alpha_0 * (1 - alpha_j / alpha_0) *
(n + alpha_0) / (1 + alpha_0)

где concentration = alpha и total_concentration = alpha_0 = sum_j alpha_j.

Ковариация между элементами пакета определяется следующим образом:

Cov(X_i, X_j) = -n * alpha_i * alpha_j / alpha_0 ** 2 *
(n + alpha_0) / (1 + alpha_0)

cross_entropy

Посмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет перекрёстную энтропию (Шеннона).

Обозначим это распределение (self) через P, а распределение other — через Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны относительно друг друга и имеют плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), перекрёстная энтропия (Шеннона) определяется следующим образом:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает носитель случайной величины X ~ P.

entropy

Посмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Посмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одной выборки из одного пакета в виде одномерного тензора int32 Tensor.

is_scalar_batch

Посмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Посмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Посмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расхождение Кульбака — Лейблера.

Обозначим это распределение (self) через p, а распределение other — через q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно опорной меры r, расхождение KL определяется следующим образом:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает носитель случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает перекрёстную энтропию (Шеннона), а H[.] — энтропию (Шеннона).

log_cdf

Посмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифм функции распределения.

Для случайной величины X функция распределения cdf имеет вид:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто можно использовать численное приближение для log_cdf(x), дающее более точный результат, чем простое вычисление логарифма cdf при x << -1.

log_prob

Посмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифм функции плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация из DirichletMultinomial:

Для каждого пакета количеств value = [n_0, ..., n_{K-1}] величина P[value] равна вероятности того, что после self.total_count выборок из этого распределения Дирихле — мультиномиального число выборок, попавших в класс j, составит n_j. Поскольку это определение является обменным, разные последовательности могут иметь одинаковые количества, поэтому вероятность включает комбинаторный коэффициент.

Примечание: value должен быть неотрицательным тензором типа self.dtype, не содержать дробных компонентов и удовлетворять условию tf.reduce_sum(value, -1) = self.total_count. Его форма должна допускать приведение к совместимой форме с self.concentration и self.total_count.

log_survival_function

Посмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифм функции выживания.

Для случайной величины X функция выживания определяется следующим образом:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Как правило, для логарифма функции выживания можно использовать различные численные приближения, более точные, чем 1 - cdf(x) при x >> 1.

mean

Посмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее.

mode

Посмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

param_shapes

Посмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, необходимые для получения заданной формы при вызове sample().

Это метод класса, описывающий, какие аргументы «ключ/значение» нужны для создания указанного Distribution, чтобы вызов sample() этого экземпляра возвращал заданную форму.

Подклассам следует переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Посмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (то есть TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий, какие аргументы «ключ/значение» нужны для создания указанного Distribution, чтобы вызов sample() этого экземпляра возвращал заданную форму. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассам следует переопределять метод класса _param_shapes, чтобы возвращать тензоры с постоянными значениями, если переданы постоянные значения.

prob

Посмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация из DirichletMultinomial:

Для каждого набора количеств, value = [n_0, ..., n_{K-1}], P[value] — это вероятность того, что после выборки self.total_count значений из этого распределения Дирихле — мультиномиального распределения количество значений, попавших в класс j, составит n_j. Поскольку это определение обменное, разные последовательности имеют одинаковые количества, поэтому вероятность включает комбинаторный коэффициент.

Примечание: value должен быть неотрицательным тензором с типом данных self.dtype, не содержать дробных значений и удовлетворять условию tf.reduce_sum(value, -1) = self.total_count. Его форма должна быть совместима с self.concentration и self.total_count при широковещательной передаче.

quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Квантильная функция. Также называется «обратной функцией распределения» или «функцией процентных точек».

Для случайной величины X и p in [0, 1] величина quantile определяется следующим образом:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерирует выборки указанной формы.

Обратите внимание: вызов sample() без аргументов генерирует одну выборку.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение определяется следующим образом:

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, а stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X функция выживания определяется следующим образом:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется следующим образом:

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, а Var.shape = batch_shape + event_shape.