tf.compat.v1.distributions.Gamma

Распределение гамма.

Наследует от: Distribution

tf.compat.v1.distributions.Gamma(
    concentration,
    rate,
    validate_args=False,
    allow_nan_stats=True,
    name='Gamma'
)

Распределение гамма определено на положительных вещественных числах с использованием параметров concentration (также «альфа») и rate (также «бета»).

Математические подробности

Функция плотности вероятности (pdf):

pdf(x; alpha, beta, x > 0) = x**(alpha - 1) exp(-x beta) / Z
Z = Gamma(alpha) beta**(-alpha)

где:

• concentration = alpha, alpha > 0,
• rate = beta, beta > 0,
• Z — нормирующая константа, а
• Gamma — это гамма-функция.

Функция распределения (cdf):

cdf(x; alpha, beta, x > 0) = GammaInc(alpha, beta x) / Gamma(alpha)

где GammaInc — это нижняя неполная гамма-функция.

Интуитивное представление о параметрах можно получить из их связи со средним и стандартным отклонением:

concentration = alpha = (mean / stddev)**2
rate = beta = mean / stddev**2 = concentration / mean

Параметры распределения автоматически транслируются во всех функциях; подробности см. в примерах.

Для выборок из этого распределения используется репараметризация (производные по траектории). Производные вычисляются с использованием подхода, описанного в работе Figurnov et al. (2018).

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

dist = tfd.Gamma(concentration=3.0, rate=2.0)
dist2 = tfd.Gamma(concentration=[3.0, 4.0], rate=[2.0, 3.0])

Вычисление градиентов выборок по параметрам:

concentration = tf.constant(3.0)
rate = tf.constant(2.0)
dist = tfd.Gamma(concentration, rate)
samples = dist.sample(5)  # Shape [5]
loss = tf.reduce_mean(tf.square(samples))  # Arbitrary loss function
# Unbiased stochastic gradients of the loss function
grads = tf.gradients(loss, [concentration, rate])

Методы

batch_shape_tensor

Посмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одной выборки для одного индекса события в виде одномерного Tensor.

Размерности пакета — это индексы независимых, неидентичных параметризаций этого распределения.

cdf

Посмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция распределения.

Для случайной величины X функция распределения cdf имеет вид:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Посмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создаёт глубокую копию распределения.

Примечание: копия распределения может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Посмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определена только для распределений с нес скалярными событиями.

Например, для векторного распределения длины k она вычисляется следующим образом:

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — матрица k x k (пакет матриц), 0 <= (i, j) < k, а E обозначает математическое ожидание.

Для многомерных распределений, не являющихся векторными (например, матричных, распределения Уишарта), Covariance должна возвращать матрицу (пакет матриц) при некоторой векторизации событий, то есть:

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — матрицы k' x k' (пакет матриц), 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), а Vec — некоторая функция, отображающая индексы размерностей событий этого распределения в индексы вектора длины k'.

cross_entropy

Посмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет перекрёстную энтропию (Шеннона).

Обозначим это распределение (self) через P, а распределение other — через Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны относительно друг друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), перекрёстная энтропия (Шеннона) определяется следующим образом:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает носитель случайной величины X ~ P.

entropy

Посмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Посмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одной выборки для одного пакета в виде одномерного int32 Tensor.

is_scalar_batch

Посмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Посмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Посмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет дивергенцию Кульбака — Лейблера.

Обозначим это распределение (self) через p, а распределение other — через q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно опорной меры r, дивергенция KL определяется следующим образом:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает носитель случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает перекрёстную энтропию (Шеннона), а H[.] — энтропию (Шеннона).

log_cdf

Посмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифм функции распределения.

Для случайной величины X функция распределения cdf имеет вид:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) можно использовать численное приближение, которое даёт более точный результат, чем простое вычисление логарифма cdf, если x << -1.

log_prob

Посмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифм функции плотности/вероятности.

log_survival_function

Посмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифм функции выживания.

Для случайной величины X функция выживания определяется следующим образом:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Как правило, для логарифма функции выживания можно использовать другие численные приближения, которые точнее 1 - cdf(x), если x >> 1.

mean

Посмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее.

mode

Посмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

Дополнительная документация из Gamma:

Мода гамма-распределения равна (shape - 1) / rate, если shape > 1, и NaN в противном случае. Если self.allow_nan_stats равен False, будет вызвано исключение вместо возврата NaN.

param_shapes

Посмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, необходимые для получения заданной формы вызова sample().

Это метод класса, описывающий, какие аргументы «ключ/значение» необходимы для создания указанного Distribution, чтобы вызов sample() этого экземпляра возвращал заданную форму.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Посмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (то есть TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий, какие аргументы «ключ/значение» необходимы для создания указанного Distribution, чтобы вызов sample() этого экземпляра возвращал заданную форму. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes, чтобы возвращать тензоры с постоянными значениями при передаче постоянных значений.

prob

Посмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/вероятности.

quantile

Посмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Квантильная функция, также называемая «обратной функцией распределения» или «функцией процентных точек».

Для случайной величины X и p in [0, 1] величина quantile равна:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Посмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Создаёт выборки заданной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов создаёт одну выборку.

stddev

Посмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение определяется следующим образом:

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, а stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Посмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X функция выживания определяется следующим образом:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Посмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется следующим образом:

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, а Var.shape = batch_shape + event_shape.