tf.compat.v1.distributions.StudentT

Распределение Стьюдента.

Наследуется от: Distribution

tf.compat.v1.distributions.StudentT(
    df,
    loc,
    scale,
    validate_args=False,
    allow_nan_stats=True,
    name='StudentT'
)

Это распределение имеет параметры: степень свободы df, положение loc и scale.

Математические подробности

Функция плотности вероятности (pdf) равна:

pdf(x; df, mu, sigma) = (1 + y**2 / df)**(-0.5 (df + 1)) / Z
where,
y = (x - mu) / sigma
Z = abs(sigma) sqrt(df pi) Gamma(0.5 df) / Gamma(0.5 (df + 1))

где:

• loc = mu,
• scale = sigma, и,
• Z - константа нормировки, и,
• Gamma - гамма-функция.

Распределение Стьюдента является членом семейства параметрического семейства, то есть его можно построить как:

X ~ StudentT(df, loc=0, scale=1)
Y = loc + scale * X

Обратите внимание, что scale имеет семантику, более похожую на стандартное отклонение, чем на дисперсию. Однако на самом деле это не стандартное отклонение; стандартное отклонение распределения Стьюдента равно scale sqrt(df / (df - 2)), когда df > 2.

Образцы этого распределения перепараметризованы (путь-дифференцируемые). Производные вычисляются с помощью подхода, описанного в (Figurnov и др., 2018).

Примеры

Примеры инициализации одного или набора распределений.

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

# Define a single scalar Student t distribution.
single_dist = tfd.StudentT(df=3)

# Evaluate the pdf at 1, returning a scalar Tensor.
single_dist.prob(1.)

# Define a batch of two scalar valued Student t's.
# The first has degrees of freedom 2, mean 1, and scale 11.
# The second 3, 2 and 22.
multi_dist = tfd.StudentT(df=[2, 3], loc=[1, 2.], scale=[11, 22.])

# Evaluate the pdf of the first distribution on 0, and the second on 1.5,
# returning a length two tensor.
multi_dist.prob([0, 1.5])

# Get 3 samples, returning a 3 x 2 tensor.
multi_dist.sample(3)

Аргументы транслируются, когда это возможно.

# Define a batch of two Student's t distributions.
# Both have df 2 and mean 1, but different scales.
dist = tfd.StudentT(df=2, loc=1, scale=[11, 22.])

# Evaluate the pdf of both distributions on the same point, 3.0,
# returning a length 2 tensor.
dist.prob(3.0)

Вычислите градиенты образцов по параметрам:

df = tf.constant(2.0)
loc = tf.constant(2.0)
scale = tf.constant(11.0)
dist = tfd.StudentT(df=df, loc=loc, scale=scale)
samples = dist.sample(5)  # Shape [5]
loss = tf.reduce_mean(tf.square(samples))  # Arbitrary loss function
# Unbiased stochastic gradients of the loss function
grads = tf.gradients(loss, [df, loc, scale])

Методы

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного индекса события как 1-мерный Tensor.

Размерность набора индексов относится к независимым, нетождественным параметризациям этого распределения.

cdf

Просмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

При заданной случайной величине X, функция кумулятивного распределения cdf:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Просмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создает глубокую копию распределения.

Примечание: распределение копии может продолжать зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определена только для распределений, не являющихся скалярными.

Например, для распределения длиной k, векторного распределения, она вычисляется как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — (пакет) k x k матрица, 0 <= (i, j) < k, и E обозначает математическое ожидание.

В качестве альтернативы, для невекторных многомерных распределений (например, матричных, Wishart) Covariance должно возвращать (пакет) матриц при некоторой векторизации событий, т.е.,

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — (пакет) k' x k' матриц, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), а Vec — некоторая функция, сопоставляющая индексы размерностей событий данного распределения с индексами вектора длины k'.

cross_entropy

Просмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет (шанноновскую) кросс-энтропию.

Обозначим это распределение (self) как P, а распределение other — как Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны относительно друг друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (шанноновская) кросс-энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Шенноновская энтропия в натах.

event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одной группы в виде 1-мерного целочисленного массива int32 Tensor.

is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расстояние Кульбака-Лейблера.

Обозначим это распределение (self) как p, а распределение other — как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно меры отсчёта r, расстояние Кульбака-Лейблера определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область определения случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (шанноновскую) кросс-энтропию, а H[.] обозначает (шанноновскую) энтропию.

log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифм кумулятивной функции распределения.

Для случайной величины X, кумулятивная функция распределения cdf имеет вид:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) используется численное приближение, которое обеспечивает более точный результат, чем просто взятие логарифма от cdf, когда x << -1.

log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифм плотности/массы вероятности.

log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифм функции выживания.

Для случайной величины X функция выживания определяется следующим образом:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифмической функции выживания можно использовать различные численные приближения, которые более точны, чем 1 - cdf(x), когда x >> 1.

mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Математическое ожидание.

Дополнительная документация из StudentT:

Математическое ожидание распределения Стьюдента равно loc, если df > 1, в противном случае оно равно NaN. Если self.allow_nan_stats=True, то вместо возвращения NaN будет выброшено исключение.

mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, учитывая желаемую форму вызова sample().

Это метод класса, который описывает необходимые ключевые параметры/значения для создания экземпляра данного Distribution, чтобы при вызове метода sample() этого экземпляра возвращалась определенная форма.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т.е. TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий необходимые ключевые параметры/значения для создания экземпляра данного Distribution, чтобы при вызове метода sample() этого экземпляра возвращалась определенная форма. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes, чтобы возвращать тензоры с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

prob

Просмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности вероятности/массы.

quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как «обратная функция распределения» или «функция процентилей».

Для случайной величины X и p in [0, 1], quantile задаётся следующим образом:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерирует выборки заданной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует одну выборку.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Среднеквадратическое отклонение.

Среднеквадратическое отклонение определяется как

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X функция выживания определяется следующим образом:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и Var.shape = batch_shape + event_shape.

Дополнительная документация из StudentT:

Дисперсия распределения Стьюдента равна

df / (df - 2), when df > 2
infinity, when 1 < df <= 2
NaN, when df <= 1