tf.contrib.distributions.Autoregressive

Авторегрессивные распределения.

Наследуется от: Distribution

tf.contrib.distributions.Autoregressive(
    distribution_fn, sample0=None, num_steps=None, validate_args=False,
    allow_nan_stats=True, name='Autoregressive'
)

Распределение Autoregressive позволяет обучать (часто) более сложные многомерные распределения, многократно применяя диффеоморфное преобразование (например, реализованное в Bijector). Что касается терминологии,

"Авторегрессивные модели разлагают совместную плотность как произведение условных плотностей, и моделируют каждую условную плотность поочерёдно. Нормируемые потоки преобразуют базовую плотность (например, стандартное гауссово распределение) в целевую плотность посредством обратимого преобразования с вычислимой якобианом." [(Papamakarios et al., 2016)][1]

Другими словами, "авторегрессивное свойство" эквивалентно разложению p(x) = prod{ p(x[i] | x[0:i]) : i=0, ..., d }. Предоставленный shift_and_log_scale_fn, masked_autoregressive_default_template, достигает этого свойства, обнуляя веса в своих masked_dense слоях.

Практически говоря, авторегрессивное свойство означает, что существует перестановка координат событий, такая, что каждая координата является диффеоморфной функцией только предшествующих координат [(van den Oord et al., 2016)][2].

Математические подробности

Функция вероятности:

prob(x; fn, n) = fn(x).prob(x)

А образец генерируется по формуле:

x = fn(...fn(fn(x0).sample()).sample()).sample()

где многоточие (...) представляют собой n-2 составленные вызовы к fn, fn создаёт экземпляр, подобный tfp.distributions.Distribution, и x0 является фиксированным начальным Tensor.

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

def normal_fn(self, event_size):
  n = event_size * (event_size + 1) / 2
  p = tf.Variable(tfd.Normal(loc=0., scale=1.).sample(n))
  affine = tfd.bijectors.Affine(
      scale_tril=tfd.fill_triangular(0.25 * p))
  def _fn(samples):
    scale = math_ops.exp(affine.forward(samples)).eval()
    return independent_lib.Independent(
        normal_lib.Normal(loc=0., scale=scale, validate_args=True),
        reinterpreted_batch_ndims=1)
  return _fn

batch_and_event_shape = [3, 2, 4]
sample0 = array_ops.zeros(batch_and_event_shape)
ar = autoregressive_lib.Autoregressive(
    self._normal_fn(batch_and_event_shape[-1]), sample0)
x = ar.sample([6, 5])
# ==> x.shape = [6, 5, 3, 2, 4]
prob_x = ar.prob(x)
# ==> x.shape = [6, 5, 3, 2]

Ссылки

[1]: George Papamakarios, Theo Pavlakou, and Iain Murray. Masked Autoregressive Flow for Density Estimation. In Neural Information Processing Systems, 2017. https://arxiv.org/abs/1705.07057

[2]: Aaron van den Oord, Nal Kalchbrenner, Oriol Vinyals, Lasse Espeholt, Alex Graves, and Koray Kavukcuoglu. Conditional Image Generation with PixelCNN Decoders. In Neural Information Processing Systems, 2016. https://arxiv.org/abs/1606.05328

Методы

batch_shape_tensor

Просмотр исходного кода

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одной выборки из одного индекса события в виде одномерного Tensor.

Размерности пакета — это индексы независимых, но не одинаковых параметризаций этого распределения.

cdf

Просмотр исходного кода

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf вычисляется следующим образом:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Просмотр исходного кода

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создаёт глубокую копию распределения.

Примечание: скопированное распределение может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотр исходного кода

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определена только для распределений нескалярных событий.

Например, для векторного распределения длиной k, оно рассчитывается как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — (пакет) k x k матрица, 0 <= (i, j) < k, и E обозначает математическое ожидание.

В качестве альтернативы, для не-векторных, многомерных распределений (например, матричных, Вишарта), Covariance возвращает (пакет) матриц при какой-либо векторизации событий, то есть

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — это (группа) k' x k' матриц, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), и Vec — некоторая функция, сопоставляющая индексы размерностей событий этого распределения индексам вектора длины k'.

cross_entropy

Просмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет перекрестную энтропию (Шеннона).

Обозначим это распределение (self) как P и распределение other как Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны друг относительно друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (энтропия Шеннона) перекрестная энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного пакета как 1-мерный целочисленный Tensor.

is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расстояние Кульбака—Лейблера.

Обозначим это распределение (self) как p и распределение other как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно меры отсчета r, расстояние Кульбака-Лейблера определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область определения случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (энтропию Шеннона) перекрестную энтропию, а H[.] обозначает (энтропию Шеннона) энтропию.

log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифмическая функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf равна:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) используется численное приближение, которое дает более точный результат, чем просто взятие логарифма cdf , когда x << -1.

log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифмическая функция плотности/массы вероятности.

log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифмическая функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется как:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифмической функции выживания используются различные численные приближения, которые более точны, чем 1 - cdf(x) , когда x >> 1.

mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее значение.

mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, учитывая желаемую форму вызова sample().

Это метод класса, описывающий необходимые аргументы ключ/значение для создания экземпляра данного Distribution, чтобы получить определённую форму для вызова sample() этого экземпляра.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

data-text="param_static_shapes" id="param_static_shapes" tabindex="0">param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т.е. TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий необходимые аргументы ключ/значение для создания экземпляра данного Distribution, чтобы получить определённую форму для вызова sample() этого экземпляра. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes, чтобы возвращать тензоры с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

data-text="prob" id="prob" tabindex="0">prob

Просмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

data-text="quantile" id="quantile" tabindex="0">quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как "обратная функция распределения" или "функция процентиля".

Для случайной величины X и p in [0, 1], quantile:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

data-text="sample" id="sample" tabindex="0">sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерация выборок указанной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует одну выборку.

data-text="stddev" id="stddev" tabindex="0">stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а stddev.shape = batch_shape + event_shape.

data-text="survival_function" id="survival_function" tabindex="0">survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется как:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

data-text="variance" id="variance" tabindex="0">variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а Var.shape = batch_shape + event_shape.