tf.contrib.distributions.MultivariateNormalDiagPlusLowRank

Многомерное нормальное распределение на R^k.

tf.contrib.distributions.MultivariateNormalDiagPlusLowRank(
    loc=None, scale_diag=None, scale_identity_multiplier=None,
    scale_perturb_factor=None, scale_perturb_diag=None, validate_args=False,
    allow_nan_stats=True, name='MultivariateNormalDiagPlusLowRank'
)

Распределение многомерной нормали определяется над R^k и параметризуется вектором (пакет) длиной k loc (также известным как "mu") и (пакет) k x k scale матрицей; covariance = scale @ scale.T где @ обозначает матричное умножение.

Математические детали

Функция плотности вероятности (pdf) равна,

pdf(x; loc, scale) = exp(-0.5 ||y||**2) / Z,
y = inv(scale) @ (x - loc),
Z = (2 pi)**(0.5 k) |det(scale)|,

где:

• loc — вектор в R^k,
• scale — линейный оператор в R^{k x k}, cov = scale @ scale.T,
• Z обозначает константу нормировки, и,
• ||y||**2 обозначает квадрат евклидовой нормы y.

Матрица (без пакета) scale:

scale = diag(scale_diag + scale_identity_multiplier ones(k)) +
      scale_perturb_factor @ diag(scale_perturb_diag) @ scale_perturb_factor.T

где:

• scale_diag.shape = [k],
• scale_identity_multiplier.shape = [],
• scale_perturb_factor.shape = [k, r], как правило, k >> r, и,
• scale_perturb_diag.shape = [r].

Дополнительные ведущие измерения (если таковые имеются) будут индексировать пакеты.

Если и scale_diag, и scale_identity_multiplier являются None, то scale — это единичная матрица.

Распределение MultivariateNormal является членом семейства масштабов-положений, т.е. его можно построить как,

X ~ MultivariateNormal(loc=0, scale=1)   # Identity scale, zero shift.
Y = scale @ X + loc

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

# Initialize a single 3-variate Gaussian with covariance `cov = S @ S.T`,
# `S = diag(d) + U @ diag(m) @ U.T`. The perturbation, `U @ diag(m) @ U.T`, is
# a rank-2 update.
mu = [-0.5., 0, 0.5]   # shape: [3]
d = [1.5, 0.5, 2]      # shape: [3]
U = [[1., 2],
     [-1, 1],
     [2, -0.5]]        # shape: [3, 2]
m = [4., 5]            # shape: [2]
mvn = tfd.MultivariateNormalDiagPlusLowRank(
    loc=mu
    scale_diag=d
    scale_perturb_factor=U,
    scale_perturb_diag=m)

# Evaluate this on an observation in `R^3`, returning a scalar.
mvn.prob([-1, 0, 1]).eval()  # shape: []

# Initialize a 2-batch of 3-variate Gaussians; `S = diag(d) + U @ U.T`.
mu = [[1.,  2,  3],
      [11, 22, 33]]      # shape: [b, k] = [2, 3]
U = [[[1., 2],
      [3,  4],
      [5,  6]],
     [[0.5, 0.75],
      [1,0, 0.25],
      [1.5, 1.25]]]      # shape: [b, k, r] = [2, 3, 2]
m = [[0.1, 0.2],
     [0.4, 0.5]]         # shape: [b, r] = [2, 2]

mvn = tfd.MultivariateNormalDiagPlusLowRank(
    loc=mu,
    scale_perturb_factor=U,
    scale_perturb_diag=m)

mvn.covariance().eval()   # shape: [2, 3, 3]
# ==> [[[  15.63   31.57    48.51]
#       [  31.57   69.31   105.05]
#       [  48.51  105.05   162.59]]
#
#      [[   2.59    1.41    3.35]
#       [   1.41    2.71    3.34]
#       [   3.35    3.34    8.35]]]

# Compute the pdf of two `R^3` observations (one from each batch);
# return a length-2 vector.
x = [[-0.9, 0, 0.1],
     [-10, 0, 9]]     # shape: [2, 3]
mvn.prob(x).eval()    # shape: [2]

Методы

batch_shape_tensor

Посмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного индекса события в виде одномерного Tensor.

Размеры пакета являются индексами в независимых, нетождественных параметризациях этого распределения.

cdf

Посмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf равна:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Посмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создает глубокую копию распределения.

Примечание: скопированное распределение может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определена только для распределений нескалярных событий.

Например, для распределения длины k, векторного распределения, она вычисляется как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov является (пакетной) k x k матрицей, 0 <= (i, j) < k, и E обозначает математическое ожидание.

В альтернативном случае для невекторных, многомерных распределений (например, матричных, Вишарта), Covariance возвращает (пакетную) матрицу при некотором векторизации событий, т.е.,

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov является (пакетной) k' x k' матрицей, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), и Vec - некоторая функция, отображающая индексы размерностей событий этого распределения в индексы вектора длины k'.

cross_entropy

Просмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет перекрестную энтропию (Шеннона).

Обозначим это распределение (self) через P и распределение other через Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны друг относительно друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (энтропия Шеннона) перекрестная энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного пакета как 1-D целочисленного значения типа int32 Tensor.

is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расстояние Кульбака—Лейблера.

Обозначим это распределение (self) через p и распределение other через q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно меры отсчета r, расстояние KL определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область определения случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (энтропию Шеннона) перекрестную энтропию, и H[.] обозначает (энтропию Шеннона) энтропию.

log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифм функции кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf задаётся:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) используется численное приближение, которое даёт более точный результат, чем просто взятие логарифма cdf, когда x << -1.

log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифм функции плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация от MultivariateNormalLinearOperator:

value — это пакетный вектор с совместимой формой, если value является Tensor, чья форма может быть расширена до:

self.batch_shape + self.event_shape

или

[M1, ..., Mm] + self.batch_shape + self.event_shape

log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифм функции выживаемости.

Для случайной величины X, функция выживаемости определяется как:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифма функции выживаемости используются различные численные приближения, которые более точны, чем 1 - cdf(x) когда x >> 1.

mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее.

mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, заданные желаемой формой вызова sample().

Это метод класса, который описывает, какие аргументы ключ/значение необходимы для создания данного Distribution, чтобы получить определённую форму для вызова sample() этого экземпляра.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т.е. TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий, какие аргументы ключ/значение необходимы для создания данного Distribution, чтобы получить определённую форму для вызова sample() этого экземпляра. Предполагается, что форма выборки известна статически.

Подклассы должны переопределить метод класса _param_shapes, чтобы возвращать тензоры с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

prob

Просмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация от MultivariateNormalLinearOperator:

value — это пакетный вектор с совместимой формой, если value является Tensor, форма которого может быть расширена до:

self.batch_shape + self.event_shape

или

[M1, ..., Mm] + self.batch_shape + self.event_shape

quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как «обратная функция распределения» или «функция процентиля».

Для случайной величины X и p in [0, 1], quantile:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерирует выборки указанной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует одну выборку.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Среднеквадратичное отклонение.

Среднеквадратичное отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — это случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживаемости.

Для случайной величины X, функция выживаемости определяется следующим образом:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — это случайная величина, связанная с этим распределением, E обозначает математическое ожидание, и Var.shape = batch_shape + event_shape.