tf.contrib.distributions.MultivariateNormalTriL

Многомерное нормальное распределение над R^k.

tf.contrib.distributions.MultivariateNormalTriL(
    loc=None, scale_tril=None, validate_args=False, allow_nan_stats=True,
    name='MultivariateNormalTriL'
)

Распределение Многомерной Нормали определяется над R^k и параметризуется (пачкой) вектором длины k loc (также известным как "mu") и (пачкой) нижнетреугольной k x k scale матрицей; covariance = scale @ scale.T где @ обозначает матричное умножение.

Математические детали

Функция плотности вероятности (pdf) равна,

pdf(x; loc, scale) = exp(-0.5 ||y||**2) / Z,
y = inv(scale) @ (x - loc),
Z = (2 pi)**(0.5 k) |det(scale)|,

где:

• loc — это вектор в R^k,
• scale — это матрица в R^{k x k}, covariance = scale @ scale.T,
• Z обозначает константу нормирования, и,
• ||y||**2 обозначает квадрат Евклидовой нормы y.

Матрица (без пакета) scale равна:

scale = scale_tril

где scale_tril — это нижнетреугольная k x k матрица с ненулевой диагональю, т.е. tf.linalg.tensor_diag_part(scale_tril) != 0.

Дополнительные ведущие размерности (если таковые имеются) будут индексировать пакеты.

Распределение MultivariateNormal является членом семейства локально-масштабного, т.е. его можно создать как,

X ~ MultivariateNormal(loc=0, scale=1)   # Identity scale, zero shift.
Y = scale @ X + loc

Обучаемые (пакетные) нижнетреугольные матрицы могут быть созданы с помощью tfp.distributions.matrix_diag_transform() и/или tfp.distributions.fill_triangular()

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

# Initialize a single 3-variate Gaussian.
mu = [1., 2, 3]
cov = [[ 0.36,  0.12,  0.06],
       [ 0.12,  0.29, -0.13],
       [ 0.06, -0.13,  0.26]]
scale = tf.linalg.cholesky(cov)
# ==> [[ 0.6,  0. ,  0. ],
#      [ 0.2,  0.5,  0. ],
#      [ 0.1, -0.3,  0.4]])
mvn = tfd.MultivariateNormalTriL(
    loc=mu,
    scale_tril=scale)

mvn.mean().eval()
# ==> [1., 2, 3]

# Covariance agrees with cholesky(cov) parameterization.
mvn.covariance().eval()
# ==> [[ 0.36,  0.12,  0.06],
#      [ 0.12,  0.29, -0.13],
#      [ 0.06, -0.13,  0.26]]

# Compute the pdf of an observation in `R^3` ; return a scalar.
mvn.prob([-1., 0, 1]).eval()  # shape: []

# Initialize a 2-batch of 3-variate Gaussians.
mu = [[1., 2, 3],
      [11, 22, 33]]              # shape: [2, 3]
tril = ...  # shape: [2, 3, 3], lower triangular, non-zero diagonal.
mvn = tfd.MultivariateNormalTriL(
    loc=mu,
    scale_tril=tril)

# Compute the pdf of two `R^3` observations; return a length-2 vector.
x = [[-0.9, 0, 0.1],
     [-10, 0, 9]]     # shape: [2, 3]
mvn.prob(x).eval()    # shape: [2]

# Instantiate a "learnable" MVN.
dims = 4
with tf.compat.v1.variable_scope("model"):
  mvn = tfd.MultivariateNormalTriL(
      loc=tf.compat.v1.get_variable(shape=[dims], dtype=tf.float32,
      name="mu"),
      scale_tril=tfd.fill_triangular(
          tf.compat.v1.get_variable(shape=[dims * (dims + 1) / 2],
                          dtype=tf.float32, name="chol_Sigma")))

Методы

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одного индекса события как одномерный Tensor.

Измерения пакетной обработки индексируют независимые, нетождественные параметризации этого распределения.

cdf

Просмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция накопленного распределения.

Для случайной величины X, функция накопленного распределения cdf равна:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Просмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создает глубокую копию распределения.

Примечание: распределение копии может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотреть исходный код

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определяется только для распределений с нескалярным событием.

Например, для распределения со значением длины k, векторного значения, она вычисляется как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — (пакет из) k x k матрицы, 0 <= (i, j) < k, и E обозначает математическое ожидание.

В противном случае, для не векторных, многомерных распределений (например, матрично-значных, Вишарта), Covariance должен возвращать (пакет из) матриц в рамках некоторой векторизации событий, т.е.

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — (пакет из) k' x k' матриц, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), и Vec — некоторая функция, сопоставляющая индексы размерностей события данного распределения с индексами вектора длины k'.

cross_entropy

Просмотреть исходный код

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисляет кросс-энтропию (Шеннона).

Обозначим это распределение (self) через P и распределение other через Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны друг относительно друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), кросс-энтропия (Шеннона) определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

entropy

Просмотреть исходный код

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Просмотреть исходный код

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одной группы в виде 1-мерного int32 Tensor.

is_scalar_batch

Просмотреть исходный код

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Просмотреть исходный код

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Просмотреть исходный код

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисляет расстояние Кульбака—Лайблера.

Обозначим это распределение (self) как p, а распределение other как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно меры отсчёта r, расстояние KL определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область определения случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (энтропию Шеннона) кросс-энтропию, а H[.] обозначает (энтропию Шеннона) энтропию.

log_cdf

Просмотреть исходный код

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифмическая кумулятивная функция распределения.

Для случайной величины X, кумулятивная функция распределения cdf имеет вид:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) можно использовать численное приближение, которое даёт более точный результат, чем просто логарифмирование cdf, когда x << -1.

log_prob

Просмотреть исходный код

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифмическая функция плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация из MultivariateNormalLinearOperator:

value — это вектор группы с совместимой формой, если value — это Tensor, форма которого может быть расширена до:

self.batch_shape + self.event_shape

или

[M1, ..., Mm] + self.batch_shape + self.event_shape

log_survival_function

Просмотреть исходный код

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифмическая функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется как:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифмической функции выживания можно использовать различные численные приближения, которые более точны, чем 1 - cdf(x) при x >> 1.

mean

Просмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Математическое ожидание.

mode

Просмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

param_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров при заданной форме вызова sample().

Это метод класса, который описывает, какие пары «ключ-значение» необходимы для создания экземпляра данного Distribution, чтобы при вызове sample() у этого экземпляра возвращалась определённая форма.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Просмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes с постоянными (т. е. TensorShape) формами.

Это метод класса, описывающий необходимые аргументы ключевое слово/значение для создания заданного Distribution, чтобы при вызове sample() экземпляром возвращалась определённая форма. Предполагается, что форма образца известна статически.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes, чтобы возвращать тензоры с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

prob

Просмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация из MultivariateNormalLinearOperator:

value — это пакетный вектор с совместимой формой, если value является Tensor с формой, которая может быть расширена до одной из:

self.batch_shape + self.event_shape

или

[M1, ..., Mm] + self.batch_shape + self.event_shape

quantile

Просмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как «обратная функция распределения» или «функция процентиля».

Для случайной величины X и p in [0, 1] значение квантиля:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Просмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерировать образцы указанной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует один образец.

stddev

Просмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Среднеквадратическое отклонение.

Среднеквадратическое отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Просмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Просмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а Var.shape = batch_shape + event_shape.