tf.contrib.distributions.VectorExponentialDiag

Векторизация распределения Экспoненциального на R^k.

tf.contrib.distributions.VectorExponentialDiag(
    loc=None, scale_diag=None, scale_identity_multiplier=None, validate_args=False,
    allow_nan_stats=True, name='VectorExponentialDiag'
)

Векторно-экспоненциальное распределение определено на подмножестве R^k, и параметризовано (пакетным) вектором длины k loc и (пакетной) k x k scale матрицей: covariance = scale @ scale.T, где @ обозначает матричное умножение.

Математические подробности

Функция плотности вероятности (pdf) определена на образе матрицы scale + loc, применённой к положительной полуплоскости: Supp = {loc + scale @ x : x in R^k, x_1 > 0, ..., x_k > 0}. На этом множестве,

pdf(y; loc, scale) = exp(-||x||_1) / Z,  for y in Supp
x = inv(scale) @ (y - loc),
Z = |det(scale)|,

где:

• loc — вектор в R^k,
• scale — линейный оператор в R^{k x k}, cov = scale @ scale.T,
• Z — обозначает константу нормирования, и,
• ||x||_1 обозначает l1 норму x, sum_i |x_i|.

Распределение VectorExponential является членом семейства сдвига и масштабирования, т.е. его можно сконструировать как,

X = (X_1, ..., X_k), each X_i ~ Exponential(rate=1)
Y = (Y_1, ...,Y_k) = scale @ X + loc

О VectorExponential и Vector распределениях в TensorFlow.

VectorExponential — это распределение, не являющееся стандартным, но обладающее полезными свойствами.

Матричные Y_1, ..., Y_k — это не случайные величины распределения Экспoненциального, так как сумма случайных величин Экспoненциального распределения не является Экспoненциальным распределением.

Вместо этого, Y — это вектор, чьи компоненты являются линейными комбинациями случайных величин Экспoненциального распределения. Таким образом, Y находится в векторном пространстве, порожденном vectors распределениями Экспoненциального распределения. Это позволяет пользователю задать среднее значение и ковариацию (задавая loc и scale соответственно), сохраняя некоторые свойства распределения Экспoненциального распределения. В частности, хвосты Y_i будут (с точностью до полиномиальных множителей) экспоненциально убывать.

Для подтверждения последнего утверждения следует заметить, что функция плотности вероятности Y_i является сверткой функций плотности вероятности k независимых случайных величин Экспoненциального распределения. Затем можно показать индукцией, что распределения с экспоненциально (с точностью до полиномиальных множителей) убывающими хвостами замкнуты относительно свертки.

Примеры

import tensorflow_probability as tfp
tfd = tfp.distributions

# Initialize a single 2-variate VectorExponential, supported on
# {(x, y) in R^2 : x > 0, y > 0}.

# The first component has pdf exp{-x}, the second 0.5 exp{-x / 2}
vex = tfd.VectorExponentialDiag(scale_diag=[1., 2.])

# Compute the pdf of an`R^2` observation; return a scalar.
vex.prob([3., 4.]).eval()  # shape: []

# Initialize a 2-batch of 3-variate Vector Exponential's.
loc = [[1., 2, 3],
       [1., 0, 0]]              # shape: [2, 3]
scale_diag = [[1., 2, 3],
              [0.5, 1, 1.5]]     # shape: [2, 3]

vex = tfd.VectorExponentialDiag(loc, scale_diag)

# Compute the pdf of two `R^3` observations; return a length-2 vector.
x = [[1.9, 2.2, 3.1],
     [10., 1.0, 9.0]]     # shape: [2, 3]
vex.prob(x).eval()    # shape: [2]

Методы

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма одной выборки из одного индекса события в виде одномерного Tensor.

Размерности пакета являются индексами в независимые, но не одинаковые параметризации этого распределения.

cdf

Просмотреть исходный код

cdf(
    value, name='cdf'
)

Функция кумулятивного распределения.

Для случайной величины X, функция кумулятивного распределения cdf задаётся:

cdf(x) := P[X <= x]

copy

Просмотреть исходный код

copy(
    **override_parameters_kwargs
)

Создаёт глубокую копию распределения.

Примечание: скопированное распределение может по-прежнему зависеть от исходных аргументов инициализации.

covariance

Просмотр исходного кода

covariance(
    name='covariance'
)

Ковариация.

Ковариация (возможно) определена только для распределений с нескалярными событиями.

Например, для распределения со значениями длины k, векторных значений, она вычисляется как,

Cov[i, j] = Covariance(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i]) (X_j - E[X_j])]

где Cov — (группа) k x k матрица, 0 <= (i, j) < k, а E обозначает математическое ожидание.

В качестве альтернативы, для не векторных, многомерных распределений (например, матричных, Вишарта), Covariance должна возвращать (группу) матриц в рамках некоторой векторной записи событий, т. е.,

Cov[i, j] = Covariance(Vec(X)_i, Vec(X)_j) = [as above]

где Cov — (группа) k' x k' матриц, 0 <= (i, j) < k' = reduce_prod(event_shape), а Vec — некоторая функция, отображающая индексы размерностей событий данного распределения на индексы вектора длиной k'.

cross_entropy

Просмотр исходного кода

cross_entropy(
    other, name='cross_entropy'
)

Вычисление кросс-энтропии (Шеннона).

Обозначим это распределение (self) как P и распределение other как Q. Предполагая, что P, Q абсолютно непрерывны друг относительно друга и допускают плотности p(x) dr(x) и q(x) dr(x), (Шаннон) кросс-энтропия определяется как:

H[P, Q] = E_p[-log q(X)] = -int_F p(x) log q(x) dr(x)

где F обозначает область определения случайной величины X ~ P.

entropy

Просмотр исходного кода

entropy(
    name='entropy'
)

Энтропия Шеннона в натах.

event_shape_tensor

Просмотр исходного кода

event_shape_tensor(
    name='event_shape_tensor'
)

Форма одного образца из одной группы в виде 1-мерного целочисленного значения int32 Tensor.

is_scalar_batch

Просмотр исходного кода

is_scalar_batch(
    name='is_scalar_batch'
)

Указывает, что batch_shape == [].

is_scalar_event

Просмотр исходного кода

is_scalar_event(
    name='is_scalar_event'
)

Указывает, что event_shape == [].

kl_divergence

Просмотр исходного кода

kl_divergence(
    other, name='kl_divergence'
)

Вычисление расхождения Кульбака—Лейблера.

Обозначим это распределение (self) как p и распределение other как q. Предполагая, что p, q абсолютно непрерывны относительно опорной меры r, расхождение Кульбака—Лейблера определяется как:

KL[p, q] = E_p[log(p(X)/q(X))]
         = -int_F p(x) log q(x) dr(x) + int_F p(x) log p(x) dr(x)
         = H[p, q] - H[p]

где F обозначает область определения случайной величины X ~ p, H[., .] обозначает (Шаннон) кросс-энтропию, а H[.] обозначает (Шаннон) энтропию.

log_cdf

Просмотр исходного кода

log_cdf(
    value, name='log_cdf'
)

Логарифмическая кумулятивная функция распределения.

Для случайной величины X, кумулятивная функция распределения cdf определяется как:

log_cdf(x) := Log[ P[X <= x] ]

Часто для log_cdf(x) используется численное приближение, которое обеспечивает более точный ответ, чем просто взятие логарифма cdf при x << -1.

log_prob

Просмотр исходного кода

log_prob(
    value, name='log_prob'
)

Логарифмическая функция плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация от VectorExponentialLinearOperator:

value — это вектор группы с совместимой формой, если value — это Tensor, форма которого может быть расширена до одной из:

self.batch_shape + self.event_shape

или

[M1, ..., Mm] + self.batch_shape + self.event_shape

log_survival_function

Просмотр исходного кода

log_survival_function(
    value, name='log_survival_function'
)

Логарифмическая функция выживания.

Для случайной величины X, функция выживания определяется как:

log_survival_function(x) = Log[ P[X > x] ]
                         = Log[ 1 - P[X <= x] ]
                         = Log[ 1 - cdf(x) ]

Обычно для логарифмической функции выживания используются различные численные приближения, которые более точны, чем 1 - cdf(x) при x >> 1.

mean

Посмотреть исходный код

mean(
    name='mean'
)

Среднее значение.

mode

Посмотреть исходный код

mode(
    name='mode'
)

Мода.

param_shapes

Посмотреть исходный код

@classmethod
param_shapes(
    sample_shape, name='DistributionParamShapes'
)

Формы параметров, учитывая желаемую форму вызова sample().

Это метод класса, который описывает, какие аргументы ключ/значение требуются для создания данного Distribution, чтобы получить определённую форму для вызова sample() этим экземпляром.

Подклассы должны переопределять метод класса _param_shapes.

param_static_shapes

Посмотреть исходный код

@classmethod
param_static_shapes(
    sample_shape
)

param_shapes со статическими (т.е. TensorShape) формами.

Это метод класса, который описывает, какие аргументы ключ/значение требуются для создания данного Distribution, чтобы получить определённую форму для вызова sample() этим экземпляром. Предполагается, что форма выборки статически известна.

Подклассы должны переопределить метод класса _param_shapes, чтобы возвращать тензоры с постоянными значениями при подаче постоянных значений.

prob

Посмотреть исходный код

prob(
    value, name='prob'
)

Функция плотности/массы вероятности.

Дополнительная документация от VectorExponentialLinearOperator.

value — это пакетный вектор с совместимой формой, если value — это Tensor форма которого может быть расширена до одной из:

self.batch_shape + self.event_shape

или

[M1, ..., Mm] + self.batch_shape + self.event_shape

quantile

Посмотреть исходный код

quantile(
    value, name='quantile'
)

Функция квантиля. Также известна как «обратная функция распределения» или «функция процентиля».

Для случайной величины X и p in [0, 1] quantile:

quantile(p) := x such that P[X <= x] == p

sample

Посмотреть исходный код

sample(
    sample_shape=(), seed=None, name='sample'
)

Генерация выборок заданной формы.

Обратите внимание, что вызов sample() без аргументов сгенерирует одну выборку.

stddev

Посмотреть исходный код

stddev(
    name='stddev'
)

Среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение определяется как,

stddev = E[(X - E[X])**2]**0.5

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а stddev.shape = batch_shape + event_shape.

survival_function

Посмотреть исходный код

survival_function(
    value, name='survival_function'
)

Функция выживания.

Для случайной величины X функция выживания определяется как:

survival_function(x) = P[X > x]
                     = 1 - P[X <= x]
                     = 1 - cdf(x).

variance

Посмотреть исходный код

variance(
    name='variance'
)

Дисперсия.

Дисперсия определяется как,

Var = E[(X - E[X])**2]

где X — случайная величина, связанная с этим распределением, E — математическое ожидание, а Var.shape = batch_shape + event_shape.